Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288П см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Давайте решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять, как найти радиус основания и высоту цилиндра. ### Условия задачи: - Высота цилиндра \(h\) на 12 см больше радиуса основания \(r\): \[ h = r + 12 \] - Площадь полной поверхности цилиндра равна \(288\pi\, \text{см}^2\): \[ S_{\text{полн}} = 288\pi \] --- ### Шаг 1. Запишем формулу площади полной поверхности цилиндра: Площадь полной поверхности состоит из площади боковой поверхности и площадей двух основаниях: \[ S_{\text{полн}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \] Где: - \(2\pi r^2\) — площадь двух оснований, - \(2\pi r h\) — площадь боковой поверхности. Подставим известное значение: \[ 2\pi r^2 + 2\pi r h = 288\pi \] Разделим обе части уравнения на \(\pi\): \[ 2 r^2 + 2 r h = 288 \] --- ### Шаг 2. Используем условие \(h = r + 12\): Подставим это выражение в уравнение: \[ 2 r^2 + 2 r (r + 12) = 288 \] Раскроем скобки: \[ 2 r^2 + 2 r^2 + 24 r = 288 \] Объединим подобные члены: \[ 4 r^2 + 24 r = 288 \] Разделим обе части на 4 для упрощения: \[ r^2 + 6 r = 72 \] Получаем квадратичное уравнение: \[ r^2 + 6 r - 72 = 0 \] --- ### Шаг 3. Решим квадратичное уравнение: Используем формулу корней: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -72\). Вычислим дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \times 1 \times (-72) = 36 + 288 = 324 \] Найдем корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \] Теперь подставим в формулу: \[ r = \frac{-6 \pm 18}{2} \] Два варианта: 1. \(\displaystyle r = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\) 2. \(\displaystyle r = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\) Поскольку радиус не может быть отрицательным, принимаем только положительный вариант: \[ r = 6\, \text{см} \] ### Шаг 4. Найдём высоту \(h\): Используем условие \(h = r + 12\): \[ h = 6 + 12 = 18\, \text{см} \] --- ## Итог: - Радиус основания: \(\boxed{6\, \text{см}}\) - Высота цилиндра: \(\boxed{18\, \text{см}}\) Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить哪个 шаг более подробно — скажите!