Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288П см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Давайте решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять, как найти радиус основания и высоту цилиндра.

Условия задачи:

• Высота цилиндра \(h\) на 12 см больше радиуса основания \(r\):
  \[ h = r + 12 \]
• Площадь полной поверхности цилиндра равна \(288\pi\, \text{см}^2\): \[ S_{\text{полн}} = 288\pi \]

---

Шаг 1. Запишем формулу площади полной поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности состоит из площади боковой поверхности и площадей двух основаниях:

\[ S_{\text{полн}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \]

Где:

• \(2\pi r^2\) — площадь двух оснований,
• \(2\pi r h\) — площадь боковой поверхности.

Подставим известное значение:

\[ 2\pi r^2 + 2\pi r h = 288\pi \]

Разделим обе части уравнения на \(\pi\):

\[ 2 r^2 + 2 r h = 288 \]

---

Шаг 2. Используем условие \(h = r + 12\):

Подставим это выражение в уравнение:

\[ 2 r^2 + 2 r (r + 12) = 288 \]

Раскроем скобки:

\[ 2 r^2 + 2 r^2 + 24 r = 288 \]

Объединим подобные члены:

\[ 4 r^2 + 24 r = 288 \]

Разделим обе части на 4 для упрощения:

\[ r^2 + 6 r = 72 \]

Получаем квадратичное уравнение:

\[ r^2 + 6 r - 72 = 0 \]

---

Шаг 3. Решим квадратичное уравнение:

Используем формулу корней:

\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -72\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = 6^2 - 4 \times 1 \times (-72) = 36 + 288 = 324 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ r = \frac{-6 \pm 18}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle r = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
2. \(\displaystyle r = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12\)

Поскольку радиус не может быть отрицательным, принимаем только положительный вариант:

\[ r = 6\, \text{см} \]

Шаг 4. Найдём высоту \(h\):

Используем условие \(h = r + 12\):

\[ h = 6 + 12 = 18\, \text{см} \]

---

Итог:

• Радиус основания: \(\boxed{6\, \text{см}}\)
• Высота цилиндра: \(\boxed{18\, \text{см}}\)

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить哪个 шаг более подробно — скажите!