Найти сторону ромба ,его площадь равна 60 см кв.,а отношение диагоналей 1:3
Дано:
- Площадь ромба \( S = 60 \text{ см}^2 \)
- Отношение диагоналей \( d_1 : d_2 = 1 : 3 \)
Требуется: найти длину стороны ромба.
Шаг 1. Обозначения и свойства ромба
Обозначим:
- Диагонали: \( d_1 \) и \( d_2 \)
- Сторона ромба: \( a \)
Известные свойства:
Площадь ромба выражается через диагонали:
\[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]Диагонали делят друг друга на равные части, и угол между ними — это внутренний угол ромба.
Шаг 2. Выразим диагонали через отношение
Отношение диагоналей:
\[ d_1 : d_2 = 1 : 3 \]
Обозначим:
\[ d_1 = x \]
\[ d_2 = 3x \]
Подставим в формулу площади:
\[ 60 = \frac{x \times 3x}{2} = \frac{3x^2}{2} \]
Отсюда:
\[ 3x^2 = 120 \]
\[ x^2 = 40 \]
\[ x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Тогда:
\[ d_1 = 2\sqrt{10} \]
\[ d_2 = 3 \times 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10} \]
Шаг 3. Найти сторону ромба \( a \)
Ромб можно разбить на четыре равных треугольника, каждый из которых — прямой треугольник, у которых катеты — половины диагоналей:
- Катеты: \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \)
- Гипотенуза: сторона ромба \( a \)
Используем теорему Пифагора:
\[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
\]
Подставим числа:
\[
a = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{10}}{2}\right)^2 + \left(\frac{6\sqrt{10}}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2}
\]
Вычислим:
\[
a = \sqrt{10 + 9 \times 10} = \sqrt{10 + 90} = \sqrt{100} = 10
\]
Ответ:
Длина стороны ромба равна \(\boxed{10 \text{ см}}\).
