Дано:
- Площадь ромба ( S = 60 \text{ см}^2 )
- Отношение диагоналей ( d_1 : d_2 = 1 : 3 )
Требуется: найти длину стороны ромба.
Шаг 1. Обозначения и свойства ромба
Обозначим:
- Диагонали: ( d_1 ) и ( d_2 )
- Сторона ромба: ( a )
Известные свойства:
Площадь ромба выражается через диагонали:
[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} ]
Диагонали делят друг друга на равные части, и угол между ними — это внутренний угол ромба.
Шаг 2. Выразим диагонали через отношение
Отношение диагоналей:
[ d_1 : d_2 = 1 : 3 ]
Обозначим:
[ d_1 = x ]
[ d_2 = 3x ]
Подставим в формулу площади:
[ 60 = \frac{x \times 3x}{2} = \frac{3x^2}{2} ]
Отсюда:
[ 3x^2 = 120 ]
[ x^2 = 40 ]
[ x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]
Тогда:
[ d_1 = 2\sqrt{10} ]
[ d_2 = 3 \times 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10} ]
Шаг 3. Найти сторону ромба ( a )
Ромб можно разбить на четыре равных треугольника, каждый из которых — прямой треугольник, у которых катеты — половины диагоналей:
- Катеты: ( \frac{d_1}{2} ) и ( \frac{d_2}{2} )
- Гипотенуза: сторона ромба ( a )
Используем теорему Пифагора:
[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
]
Подставим числа:
[
a = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{10}}{2}\right)^2 + \left(\frac{6\sqrt{10}}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2}
]
Вычислим:
[
a = \sqrt{10 + 9 \times 10} = \sqrt{10 + 90} = \sqrt{100} = 10
]
Ответ:
Длина стороны ромба равна (\boxed{10 \text{ см}}).
