Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.

Давайте подробно разберем задачу и найдём максимально возможное расстояние для квантового распределения ключа по протоколу B84 при заданных условиях. --- ### Исходные данные: - **Скорость генерации ключа:** 5 кбит/с = 5000 бит/с - **Частота лазерных импульсов:** 1 Гц = 1 импульс в секунду - **Количество фотонов на импульс:** 0,1 фотона - **Потери в канале:** 0,3 дБ/км - **Эффективность детекторов:** 10% (η = 0,1) - **Пренебречь темновыми счетами и атаками Евы** --- ### 1. Определение количества фотонов, достигших получателя За 1 секунду посылается 1 импульс (частота 1 Гц). В каждом импульсе — 0,1 фотон. **Общее число фотонов, отправленных за секунду:** \[ N_\text{передано} = 0,1 \text{ фотон} \] Но из-за потерь в канале и эффективности детекторов нам нужно определить, сколько фотонов действительно регистрируется. --- ### 2. Потери в канале Потери выражаются в дБ, и их можно перевести в коэффициент transmissivity (пропускание). **Формула для потерь в дБ:** \[ L_\text{dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_\text{нач}}{P_\text{кон}} \right) \] Обратное отношение мощности или количества фотонов: \[ T_\text{loss} = 10^{-\frac{L_\text{dB}}{10}} \] Где \(L_\text{dB} = 0,3 \times \text{расстояние (км)}\). Значит: \[ T_\text{loss} = 10^{-\frac{0,3 \times d}{10}} = 10^{-0,03 d} \] --- ### 3. Регистрация фотонов детектором Общий коэффициент успешного приема фотона: \[ \eta_\text{total} = T_\text{loss} \times \eta_\text{детектор} \] \[ \eta_\text{total} = 10^{-0,03 d} \times 0,1 \] --- ### 4. Среднее число зарегистрированных фотонов за секунду На каждый посланный фотон: \[ \text{вероятность регистрации} = 0.1 \times T_\text{loss} \] Общее число фотонов, зарегистрированных за секунду (на приеме): \[ N_\text{зарегистрировано} = N_\text{передано} \times \eta_\text{total} \] \[ N_\text{зарегистрировано} = 0,1 \times 10^{-0,03 d} \times 0,1 = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \] --- ### 5. Требование к скорости передачи информации и длине канала Чтобы поддерживать скорость 5 кбит/с, нужно, чтобы за секунду было получено достаточное количество фотонов, чтобы обеспечить необходимую пропускную способность. Количество кадров, необходимых для достаточной статистики: \[ N_\text{кадров} = 5000 \] Но так как у нас один импульс в секунду, и в каждом — 0,1 фотон, — общая возможная регистрация фотонов за секунду: \[ N_\text{зарегистрировано за 1 сек} = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \] Это количество должно быть не меньше, чтобы обеспечить требуемую скорость. Так как в протоколе B84 можно использовать каждую зарегистрированную фотон, то для достижения 5 кбит/с нам нужно, чтобы регистрировалось хотя бы: \[ N_\text{потребность} = 5000 \] На секунду. --- ### 6. Решение для максимальной длины \( d \) Поскольку регистрируемое число фотонов должно быть равно или превышать 5000 за секунду: \[ 0,01 \times 10^{-0,03 d} \geq 5000 \] Но ясно, что это невозможно при таком исходных данных: массы фотонов при потере становятся очень малы. На самом деле, так как в секунду посылается очень мало фотонов (0,1), и регистрируется в разы меньше, то для получения необходимой скорости — 5000 бит/с — потребуется провести много импульсов. Итак, для получения 5000 бит в секунду при скорости 1 импульс/с, нужно иметь по крайней мере 5000 зарегистрированных фотонов за секунду. Тогда, при условии, что один фотон в импульсе, максимум фотонов — 1 фотон за секунду, невозможное условие. --- ### **Вывод:** ---- Поскольку частота импульсов всего 1 Гц и в каждом импульсе 0,1 фотон, то максимум возможных фотонов: \[ N_\text{макс} = 1 \text{ импульс} \times 0,1 \text{ фотон} = 0,1 \text{ фотона в секунду} \] Это само по себе гораздо меньше, чем необходимый поток для 5 кбит/с (по 5000 бит), что говорит о необходимости либо увеличения частоты импульсов, либо увеличения количества фотонов, либо использования другого метода. Но в задаче предложен именно такой набор данных. **Истинная интерпретация:** Модель может предполагать, что в каждом импульсе использоваться множество фотонов для передачи бит (например, с модуляцией), а число 0,1 фотон — средняя величина на импульс, указывающая на слабосветовую систему. Это указывает на то, что в рамках низкого уровня фотонной интенсивности (около 0,1 фотона на импульс), максимальное расстояние определяется следующей формулой: \[ N_\text{зарегистрировано} = N_\text{послано} \times T_\text{loss} \times \eta = 0,1 \times 10^{-0,03 d} \times 0,1 = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \] Общая оговорка: поскольку скорость передачи 5 кбит/с невозможно обеспечить при таких данных и низком числе фотонов, ограничимся приравниванием: --- ### **Ответ:** **Максимальное расстояние d (км), при котором можно обеспечить передачу ключа надёжно, определяется условием:** \[ 0,01 \times 10^{-0,03 d} \geq 1 \] поскольку при этом регистрируется хотя бы 1 фотон за секунду (минимум для передачи одного бита). Решим: \[ 10^{-0,03 d} \geq 100 \] \[ -0,03 d \geq \log_{10} 100 = 2 \] \[ d \leq -\frac{2}{0,03} \approx -66.7 \text{ км} \] Отрицательное расстояние — физически невозможно. Следовательно, при таких условиях передача информации на высокой скорости и с такими параметрами невозможна, и максимальное расстояние приближается к нулю. --- ### **Итог:** **При заданных данных, чтобы обеспечить необходимую скорость передачи 5 кбит/с, расстояние должно быть очень маленьким, и практически достигает нуля, т.к. из-за сильных потерь и низкого числа фотонов невозможно обеспечить нужную пропускную способность на значительных расстояниях.** --- ### **Общий вывод:** **Максимальное практическое расстояние для такой системы — практически 0 км.** Это говорит о необходимости увеличения частоты импульсов или количества фотонов для расширения диапазона. --- Если хотите, я могу помочь подобрать более конкретные параметры или объяснить теоретическую модель передачи на основе таких данных.