Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат…
Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.
Давайте подробно разберем задачу и найдём максимально возможное расстояние для квантового распределения ключа по протоколу B84 при заданных условиях.
Исходные данные:
- Скорость генерации ключа: 5 кбит/с = 5000 бит/с
- Частота лазерных импульсов: 1 Гц = 1 импульс в секунду
- Количество фотонов на импульс: 0,1 фотона
- Потери в канале: 0,3 дБ/км
- Эффективность детекторов: 10% (η = 0,1)
- Пренебречь темновыми счетами и атаками Евы
1. Определение количества фотонов, достигших получателя
За 1 секунду посылается 1 импульс (частота 1 Гц). В каждом импульсе — 0,1 фотон.
Общее число фотонов, отправленных за секунду:
\[ N_\text{передано} = 0,1 \text{ фотон} \]
Но из-за потерь в канале и эффективности детекторов нам нужно определить, сколько фотонов действительно регистрируется.
2. Потери в канале
Потери выражаются в дБ, и их можно перевести в коэффициент transmissivity (пропускание).
Формула для потерь в дБ:
\[ L_\text{dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_\text{нач}}{P_\text{кон}} \right) \]
Обратное отношение мощности или количества фотонов:
\[ T_\text{loss} = 10^{-\frac{L_\text{dB}}{10}} \]
Где \(L_\text{dB} = 0,3 \times \text{расстояние (км)}\).
Значит:
\[ T_\text{loss} = 10^{-\frac{0,3 \times d}{10}} = 10^{-0,03 d} \]
3. Регистрация фотонов детектором
Общий коэффициент успешного приема фотона:
\[ \eta_\text{total} = T_\text{loss} \times \eta_\text{детектор} \]
\[ \eta_\text{total} = 10^{-0,03 d} \times 0,1 \]
4. Среднее число зарегистрированных фотонов за секунду
На каждый посланный фотон:
\[ \text{вероятность регистрации} = 0.1 \times T_\text{loss} \]
Общее число фотонов, зарегистрированных за секунду (на приеме):
\[ N_\text{зарегистрировано} = N_\text{передано} \times \eta_\text{total} \]
\[ N_\text{зарегистрировано} = 0,1 \times 10^{-0,03 d} \times 0,1 = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \]
5. Требование к скорости передачи информации и длине канала
Чтобы поддерживать скорость 5 кбит/с, нужно, чтобы за секунду было получено достаточное количество фотонов, чтобы обеспечить необходимую пропускную способность.
Количество кадров, необходимых для достаточной статистики:
\[ N_\text{кадров} = 5000 \]
Но так как у нас один импульс в секунду, и в каждом — 0,1 фотон, — общая возможная регистрация фотонов за секунду:
\[ N_\text{зарегистрировано за 1 сек} = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \]
Это количество должно быть не меньше, чтобы обеспечить требуемую скорость.
Так как в протоколе B84 можно использовать каждую зарегистрированную фотон, то для достижения 5 кбит/с нам нужно, чтобы регистрировалось хотя бы:
\[ N_\text{потребность} = 5000 \]
На секунду.
6. Решение для максимальной длины \( d \)
Поскольку регистрируемое число фотонов должно быть равно или превышать 5000 за секунду:
\[ 0,01 \times 10^{-0,03 d} \geq 5000 \]
Но ясно, что это невозможно при таком исходных данных: массы фотонов при потере становятся очень малы.
На самом деле, так как в секунду посылается очень мало фотонов (0,1), и регистрируется в разы меньше, то для получения необходимой скорости — 5000 бит/с — потребуется провести много импульсов.
Итак, для получения 5000 бит в секунду при скорости 1 импульс/с, нужно иметь по крайней мере 5000 зарегистрированных фотонов за секунду.
Тогда, при условии, что один фотон в импульсе, максимум фотонов — 1 фотон за секунду, невозможное условие.
Вывод:
Поскольку частота импульсов всего 1 Гц и в каждом импульсе 0,1 фотон, то максимум возможных фотонов:
\[ N_\text{макс} = 1 \text{ импульс} \times 0,1 \text{ фотон} = 0,1 \text{ фотона в секунду} \]
Это само по себе гораздо меньше, чем необходимый поток для 5 кбит/с (по 5000 бит), что говорит о необходимости либо увеличения частоты импульсов, либо увеличения количества фотонов, либо использования другого метода.
Но в задаче предложен именно такой набор данных.
Истинная интерпретация:
Модель может предполагать, что в каждом импульсе использоваться множество фотонов для передачи бит (например, с модуляцией), а число 0,1 фотон — средняя величина на импульс, указывающая на слабосветовую систему.
Это указывает на то, что в рамках низкого уровня фотонной интенсивности (около 0,1 фотона на импульс), максимальное расстояние определяется следующей формулой:
\[ N_\text{зарегистрировано} = N_\text{послано} \times T_\text{loss} \times \eta = 0,1 \times 10^{-0,03 d} \times 0,1 = 0,01 \times 10^{-0,03 d} \]
Общая оговорка: поскольку скорость передачи 5 кбит/с невозможно обеспечить при таких данных и низком числе фотонов, ограничимся приравниванием:
Ответ:
Максимальное расстояние d (км), при котором можно обеспечить передачу ключа надёжно, определяется условием:
\[ 0,01 \times 10^{-0,03 d} \geq 1 \]
поскольку при этом регистрируется хотя бы 1 фотон за секунду (минимум для передачи одного бита).
Решим:
\[ 10^{-0,03 d} \geq 100 \]
\[ -0,03 d \geq \log_{10} 100 = 2 \]
\[ d \leq -\frac{2}{0,03} \approx -66.7 \text{ км} \]
Отрицательное расстояние — физически невозможно. Следовательно, при таких условиях передача информации на высокой скорости и с такими параметрами невозможна, и максимальное расстояние приближается к нулю.
Итог:
При заданных данных, чтобы обеспечить необходимую скорость передачи 5 кбит/с, расстояние должно быть очень маленьким, и практически достигает нуля, т.к. из-за сильных потерь и низкого числа фотонов невозможно обеспечить нужную пропускную способность на значительных расстояниях.
Общий вывод:
Максимальное практическое расстояние для такой системы — практически 0 км. Это говорит о необходимости увеличения частоты импульсов или количества фотонов для расширения диапазона.
Если хотите, я могу помочь подобрать более конкретные параметры или объяснить теоретическую модель передачи на основе таких данных.
