Найдите промежутки монотонности функции
Рассмотрим функцию:
\[ y = 6 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \]
Чтобы найти её промежутки монотонности, нужно определить её производную и проанализировать знак этой производной.
Шаг 1: Найдём производную функции \( y \)
Производная функции по \( x \):
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( 6 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right)
\]
Производная суммы равна сумме производных:
\[
y' = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2
\]
Упростим:
\[
y' = - x - x^2
\]
или
\[
y' = - (x + x^2) = - x (1 + x)
\]
Шаг 2: Находим нули производной \( y' \)
Решаем уравнение:
\[
- x (1 + x) = 0
\]
или
\[
x (1 + x) = 0
\]
Получаем:
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1
\]
Это точки, в которых производная равна нулю и возможные точки экстремума.
Шаг 3: Анализ знака \( y' \) на интервалах
Рассмотрим знак \( y' = - x (1 + x) \) на интервалах, разбитых точками \( x = -1 \) и \( x = 0 \):
Для \( x < -1 \):
Возьмём например \( x = -2 \):
\[ y' = - (-2) (1 - 2) = -(-2)(-1) = -2 \]
Знак: \( - \), то есть производная отрицательна, функция убывает.Для \( -1 < x < 0 \):
Например, \( x = -0.5 \):
\[ y' = - (-0.5) (1 - 0.5) = -(-0.5)(0.5) = -(-0.25) = 0.25 \]
Знак: \( + \), функция возрастает.Для \( x > 0 \):
Например, \( x=1 \):
\[ y' = - (1) (1 + 1) = - 1 \times 2 = -2 \] Знак: \( - \), функция убывает.
Итог:
- функция возрастает на промежутке \( (-1, 0) \)
- убывает на промежутках \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \)
Ответ:
Функция возрастает на промежутке: \(\boxed{(-1, 0)}\)
Функция убывает на промежутках: \(\boxed{(-\infty, -1)}\) и \(\boxed{(0, +\infty)}\).
