Найдите промежутки монотонности функции

Рассмотрим функцию: \[ y = 6 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \] Чтобы найти её промежутки монотонности, нужно определить её производную и проанализировать знак этой производной. ### Шаг 1: Найдём производную функции \( y \) Производная функции по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( 6 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right) \] Производная суммы равна сумме производных: \[ y' = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 \] Упростим: \[ y' = - x - x^2 \] или \[ y' = - (x + x^2) = - x (1 + x) \] --- ### Шаг 2: Находим нули производной \( y' \) Решаем уравнение: \[ - x (1 + x) = 0 \] или \[ x (1 + x) = 0 \] Получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Это точки, в которых производная равна нулю и возможные точки экстремума. --- ### Шаг 3: Анализ знака \( y' \) на интервалах Рассмотрим знак \( y' = - x (1 + x) \) на интервалах, разбитых точками \( x = -1 \) и \( x = 0 \): - Для \( x < -1 \): Возьмём например \( x = -2 \): \[ y' = - (-2) (1 - 2) = -(-2)(-1) = -2 \] Знак: \( - \), то есть производная отрицательна, функция убывает. - Для \( -1 < x < 0 \): Например, \( x = -0.5 \): \[ y' = - (-0.5) (1 - 0.5) = -(-0.5)(0.5) = -(-0.25) = 0.25 \] Знак: \( + \), функция возрастает. - Для \( x > 0 \): Например, \( x=1 \): \[ y' = - (1) (1 + 1) = - 1 \times 2 = -2 \] Знак: \( - \), функция убывает. --- ### Итог: - функция возрастает на промежутке \( (-1, 0) \) - убывает на промежутках \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \) --- ### **Ответ:** **Функция возрастает на промежутке**: \(\boxed{(-1, 0)}\) **Функция убывает на промежутках**: \(\boxed{(-\infty, -1)}\) и \(\boxed{(0, +\infty)}\).