Имеется калькулятор, который выполняет три операции: прибавить к числу X единицу; умножить число X на 2; умножить число X на 3. Определите, какое наименьшее число операций…

Давайте подробно решим задачу о минимальном количестве операций, необходимых для получения числа N из числа 1, при помощи трёх операций:

1. Прибавить к числу 1 (то есть +1)
2. Умножить число на 2
3. Умножить число на 3

Идея решения

Это классическая задача на динамическое программирование или на поиск кратчайшего пути, которую можно решить, используя подход "обратного" отслеживания или динамический массив. Мы попробуем применить динамический подход — для каждого числа от 1 до N мы будем вычислять минимальное количество операций, чтобы дойти до этого числа, исходя из меньших чисел.

Подход решения

• Создадим массив dp длиной N+1, где dp[i] — минимальное количество операций для получения числа i из 1.
• Изначально dp[1] = 0, поскольку для получения 1 из 1 не нужно никаких операций.
• Для каждого i от 2 до N:
  • Рассмотрим, как можно было получить i:
    • из i - 1 (операция +1), тогда dp[i] = dp[i - 1] + 1
    • из i / 2, если i делится на 2 (операция *2), тогда dp[i] = dp[i / 2] + 1
    • из i / 3, если i делится на 3 (операция *3), тогда dp[i] = dp[i / 3] + 1
  • Выбираем минимальное значение из всех возможных вариантов.

После того, как вычислим dp[N], это и есть искомое минимальное число операций.

Реализация (на Python)

def min_operations(N):
    # Создаем массив для хранения минимальных операций
    dp = [0] * (N + 1)
    
    for i in range(2, N + 1):
        # Рассматриваем операцию +1
        min_ops = dp[i - 1] + 1
        
        # Рассматриваем операцию деления на 2, если возможно
        if i % 2 == 0:
            min_ops = min(min_ops, dp[i // 2] + 1)
        
        # Рассматриваем операцию деления на 3, если возможно
        if i % 3 == 0:
            min_ops = min(min_ops, dp[i // 3] + 1)
        
        dp[i] = min_ops
    
    return dp[N]

# Ввод числа N
N = int(input())

# Вывод результата
print(min_operations(N))

Объяснение кода

• Создаем массив dp, где dp[i] хранит минимальное количество операций, чтобы получить число i.
• Перебираем числа от 2 до N и для каждого вычисляем минимальный путь:
  • через +1 из i-1
  • через *2 из i/2, если делится
  • через *3 из i/3, если делится
• В конце возвращаем dp[N].

Сложность

• Время: O(N), так как мы один раз пройдемся по числам от 2 до N.
• Память: O(N) для массива dp.

Параметр N не превышает 10^6, и такой подход будет работать достаточно быстро.

Если есть вопросы или нужно более детальное объяснение — скажите!