z = 3x1 + 3x2 → max, x1 − 2x2 ≤ 2, −2x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥
Давайте разберем задачу по шагам.
Это задача линейного программирования, цель которой — найти максимум функции:
\[ z = 3x_1 + 3x_2 \]
при условиях:
\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 \leq 2 \\ -2x_1 + x_2 \leq 1 \\ 2x_1 + x_2 \leq 8 \\ x_1 \geq 0 \\ x_2 \geq 0 \end{cases} \]
Шаг 1. Построение системы ограничений.
Для лучшего понимания задачи необходимо нарисовать допустимую область, которая задается этими неравенствами.
Шаг 2. Поиск точек пересечения ограничений.
Для поиска решений ищем точки, в которых границы ограничений пересекаются. Проверяем все пересечения пар линий и границы.
Пересечения линий
Обозначим каждое ограничение как уравнение:
- \( x_1 - 2x_2 = 2 \)
- \( -2x_1 + x_2 = 1 \)
- \( 2x_1 + x_2 = 8 \)
Также рассмариваем границы \( x_1=0 \) и \( x_2=0 \).
Найдем все точки пересечения
Пересечение линий 1 и 2:
- \( x_1 - 2x_2 = 2 \)
- \( -2x_1 + x_2 = 1 \)
Из второго уравнения выразим \( x_2 \):
\[ x_2 = 1 + 2x_1 \]
Подставим в первое:
\[ x_1 - 2(1 + 2x_1) = 2 \]
\[ x_1 - 2 - 4x_1 = 2 \]
\[ -3x_1 = 4 \]
\[ x_1 = -\frac{4}{3} \]
Так как \( x_1 < 0 \), то точка не входит в допустимую область (так как \( x_1 \geq 0 \)), пропускаем.
Пересечение линий 1 и 3:
- \( x_1 - 2x_2 = 2 \)
- \( 2x_1 + x_2 = 8 \)
Выразим \( x_2 \) из уравнения 3:
\[ x_2 = 8 - 2x_1 \]
Подставим в уравнение 1:
\[ x_1 - 2(8 - 2x_1) = 2 \]
\[ x_1 - 16 + 4x_1 = 2 \]
\[ 5x_1 = 18 \]
\[ x_1 = \frac{18}{5} = 3.6 \]
Найдем \( x_2 \):
\[ x_2 = 8 - 2 \times 3.6 = 8 - 7.2 = 0.8 \]
Проверим \( x_1, x_2 \geq 0 \) — верно.
Это точка пересечения: \( (3.6, 0.8) \).
Пересечение линий 2 и 3:
\( -2x_1 + x_2 = 1 \)
\( 2x_1 + x_2 = 8 \)
Вычитая уравнение 2 из 3, получим:
\[ (2x_1 + x_2) - (-2x_1 + x_2) = 8 - 1 \]
\[ 2x_1 + x_2 + 2x_1 - x_2 = 7 \]
\[ 4x_1 = 7 \]
\[ x_1 = \frac{7}{4} = 1.75 \]
Подставим \( x_1 \) в уравнение 2:
\[ -2 \times 1.75 + x_2 = 1 \]
\[ -3.5 + x_2 = 1 \]
\[ x_2 = 4.5 \]
Проверяем неотрицательность: \( x_2=4.5 \geq 0 \), \( x_1=1.75 \geq 0 \).
Точка пересечения: \( (1.75, 4.5) \).
Пересечения с границами \( x_1=0 \) и \( x_2=0 \):
- Для \( x_1=0 \):
Проверим каждое условие по \( x_2 \):
\( 0 - 2x_2 \leq 2 \implies -2x_2 \leq 2 \implies x_2 \geq -1 \)
\( -2 \times 0 + x_2 \leq 1 \implies x_2 \leq 1 \)
\( 2 \times 0 + x_2 \leq 8 \implies x_2 \leq 8 \)
Также \( x_2 \geq 0 \):
- Итак, при \( x_1=0 \), допустимые \( x_2 \) — от 0 до 1.
Проверим точку \( (0, 0) \):
- Все inequalities выполняются, это допустимый кандидат.
Аналогично для \( x_2=0 \):
\( x_1 - 0 \leq 2 \implies x_1 \leq 2 \)
\( -2x_1 + 0 \leq 1 \implies -2x_1 \leq 1 \implies x_1 \geq -0.5 \)
\( 2x_1 + 0 \leq 8 \implies x_1 \leq 4 \)
Также \( x_1 \geq 0 \), поэтому допустимый диапазон для \( x_1 \): от 0 до 2.
Проверим точку \( (0,0) \) — уже есть, она допустима.
Итоговые кандидатные точки:
- \( (0, 0) \)
- \( (0, 1) \), при \( x_1=0 \), \( x_2=1 \), проверим: подходит, так как 1 ≤ 1.
- \( (3.6, 0.8) \)
- \( (1.75, 4.5) \)
Подставляем эти точки в целевую функцию \( z=3x_1+3x_2 \):
- \( (0,0) \): \( z=0 \)
- \( (0,1) \): \( z=3 \times 0 + 3 \times 1=3 \)
- \( (3.6, 0.8) \): \( z=3 \times 3.6 + 3 \times 0.8=10.8 + 2.4 = 13.2 \)
- \( (1.75, 4.5) \): \( z=3 \times 1.75 + 3 \times 4.5=5.25 + 13.5=18.75 \)
Ответ:
Максимальное значение \( z \) достигается в точке \( (1.75, 4.5) \), и оно равно:
\[ \boxed{z=18.75} \]
Если нужен более подробный разбор — могу объяснить каждый шаг подробнее!
