Z = 3x1 + 3x2 → max, x1 − 2x2 ≤ 2, −2x1 + x2 ≤ 1, 2x1 + x2 ≤ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥

Давайте разберем задачу по шагам. Это задача линейного программирования, цель которой — найти максимум функции: \[ z = 3x_1 + 3x_2 \] при условиях: \[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 \leq 2 \\ -2x_1 + x_2 \leq 1 \\ 2x_1 + x_2 \leq 8 \\ x_1 \geq 0 \\ x_2 \geq 0 \end{cases} \] **Шаг 1. Построение системы ограничений.** Для лучшего понимания задачи необходимо нарисовать допустимую область, которая задается этими неравенствами. **Шаг 2. Поиск точек пересечения ограничений.** Для поиска решений ищем точки, в которых границы ограничений пересекаются. Проверяем все пересечения пар линий и границы. --- ### Пересечения линий Обозначим каждое ограничение как уравнение: 1. \( x_1 - 2x_2 = 2 \) 2. \( -2x_1 + x_2 = 1 \) 3. \( 2x_1 + x_2 = 8 \) Также рассмариваем границы \( x_1=0 \) и \( x_2=0 \). --- ### Найдем все точки пересечения #### Пересечение линий 1 и 2: 1. \( x_1 - 2x_2 = 2 \) 2. \( -2x_1 + x_2 = 1 \) Из второго уравнения выразим \( x_2 \): \[ x_2 = 1 + 2x_1 \] Подставим в первое: \[ x_1 - 2(1 + 2x_1) = 2 \] \[ x_1 - 2 - 4x_1 = 2 \] \[ -3x_1 = 4 \] \[ x_1 = -\frac{4}{3} \] Так как \( x_1 < 0 \), то точка не входит в допустимую область (так как \( x_1 \geq 0 \)), пропускаем. --- #### Пересечение линий 1 и 3: 1. \( x_1 - 2x_2 = 2 \) 3. \( 2x_1 + x_2 = 8 \) Выразим \( x_2 \) из уравнения 3: \[ x_2 = 8 - 2x_1 \] Подставим в уравнение 1: \[ x_1 - 2(8 - 2x_1) = 2 \] \[ x_1 - 16 + 4x_1 = 2 \] \[ 5x_1 = 18 \] \[ x_1 = \frac{18}{5} = 3.6 \] Найдем \( x_2 \): \[ x_2 = 8 - 2 \times 3.6 = 8 - 7.2 = 0.8 \] Проверим \( x_1, x_2 \geq 0 \) — верно. Это точка пересечения: \( (3.6, 0.8) \). --- #### Пересечение линий 2 и 3: 2. \( -2x_1 + x_2 = 1 \) 3. \( 2x_1 + x_2 = 8 \) Вычитая уравнение 2 из 3, получим: \[ (2x_1 + x_2) - (-2x_1 + x_2) = 8 - 1 \] \[ 2x_1 + x_2 + 2x_1 - x_2 = 7 \] \[ 4x_1 = 7 \] \[ x_1 = \frac{7}{4} = 1.75 \] Подставим \( x_1 \) в уравнение 2: \[ -2 \times 1.75 + x_2 = 1 \] \[ -3.5 + x_2 = 1 \] \[ x_2 = 4.5 \] Проверяем неотрицательность: \( x_2=4.5 \geq 0 \), \( x_1=1.75 \geq 0 \). Точка пересечения: \( (1.75, 4.5) \). --- ### Пересечения с границами \( x_1=0 \) и \( x_2=0 \): - Для \( x_1=0 \): Проверим каждое условие по \( x_2 \): 1. \( 0 - 2x_2 \leq 2 \implies -2x_2 \leq 2 \implies x_2 \geq -1 \) 2. \( -2 \times 0 + x_2 \leq 1 \implies x_2 \leq 1 \) 3. \( 2 \times 0 + x_2 \leq 8 \implies x_2 \leq 8 \) Также \( x_2 \geq 0 \): - Итак, при \( x_1=0 \), допустимые \( x_2 \) — от 0 до 1. Проверим точку \( (0, 0) \): - Все inequalities выполняются, это допустимый кандидат. Аналогично для \( x_2=0 \): 1. \( x_1 - 0 \leq 2 \implies x_1 \leq 2 \) 2. \( -2x_1 + 0 \leq 1 \implies -2x_1 \leq 1 \implies x_1 \geq -0.5 \) 3. \( 2x_1 + 0 \leq 8 \implies x_1 \leq 4 \) Также \( x_1 \geq 0 \), поэтому допустимый диапазон для \( x_1 \): от 0 до 2. Проверим точку \( (0,0) \) — уже есть, она допустима. --- ### Итоговые кандидатные точки: 1. \( (0, 0) \) 2. \( (0, 1) \), при \( x_1=0 \), \( x_2=1 \), проверим: подходит, так как 1 ≤ 1. 3. \( (3.6, 0.8) \) 4. \( (1.75, 4.5) \) --- ### Подставляем эти точки в целевую функцию \( z=3x_1+3x_2 \): 1. \( (0,0) \): \( z=0 \) 2. \( (0,1) \): \( z=3 \times 0 + 3 \times 1=3 \) 3. \( (3.6, 0.8) \): \( z=3 \times 3.6 + 3 \times 0.8=10.8 + 2.4 = 13.2 \) 4. \( (1.75, 4.5) \): \( z=3 \times 1.75 + 3 \times 4.5=5.25 + 13.5=18.75 \) --- ### **Ответ:** Максимальное значение \( z \) достигается в точке \( (1.75, 4.5) \), и оно равно: \[ \boxed{z=18.75} \] --- Если нужен более подробный разбор — могу объяснить каждый шаг подробнее!