Давайте подробно решим задачу по теории вероятностей.
Условие задачи:
- Общее число деталей в ящике: (N = 15)
- Окрашенных деталей: (K = 10)
- Всего достают: (k = 3)
- Нужно найти вероятность того, что все извлечённые детали окажутся окрашенными.
шаг 1: определить, что ищем
Нам нужно найти вероятность того, что все 3 выбранные детали — окрашенные. При использовании классической формулы вероятности:
[
P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}}
]
шаг 2: вычислить общее число способов выбрать 3 детали из 15
Общее число способов выбрать любые 3 детали из 15:
[
C_{15}^{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \times 12!}
]
Вычислим:
[
C_{15}^{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2730}{6} = 455
]
шаг 3: вычислить число благоприятных исходов
Благоприятные исходы — это варианты, когда все 3 выбранные детали окрашены. Можно выбрать 3 окрашенные детали из 10:
[
C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120
]
шаг 4: найти вероятность
Теперь находи вероятность выделенных благоприятных исходов:
[
P = \frac{C_{10}^{3}}{C_{15}^{3}} = \frac{120}{455}
]
Упростим дробь, деля числитель и знаменатель на 5:
[
\frac{120 ÷ 5}{455 ÷ 5} = \frac{24}{91}
]
Ответ:
Вероятность того, что все 3 извлечённые детали окажутся окрашенными:
[
\boxed{\frac{24}{91}}
]
Если нужно, я могу помочь с объяснением каждого шага подробнее.
