В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных Сборщик наудачу извлекает 3 детали Найти вероятность того. что извлеченные детали окажутся окрашенными
Давайте подробно решим задачу по теории вероятностей.
Условие задачи:
- Общее число деталей в ящике: \(N = 15\)
- Окрашенных деталей: \(K = 10\)
- Всего достают: \(k = 3\)
- Нужно найти вероятность того, что все извлечённые детали окажутся окрашенными.
шаг 1: определить, что ищем
Нам нужно найти вероятность того, что все 3 выбранные детали — окрашенные. При использовании классической формулы вероятности:
\[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]
шаг 2: вычислить общее число способов выбрать 3 детали из 15
Общее число способов выбрать любые 3 детали из 15:
\[ C_{15}^{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \times 12!} \]
Вычислим:
\[ C_{15}^{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2730}{6} = 455 \]
шаг 3: вычислить число благоприятных исходов
Благоприятные исходы — это варианты, когда все 3 выбранные детали окрашены. Можно выбрать 3 окрашенные детали из 10:
\[ C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \]
шаг 4: найти вероятность
Теперь находи вероятность выделенных благоприятных исходов:
\[ P = \frac{C_{10}^{3}}{C_{15}^{3}} = \frac{120}{455} \]
Упростим дробь, деля числитель и знаменатель на 5:
\[ \frac{120 ÷ 5}{455 ÷ 5} = \frac{24}{91} \]
Ответ:
Вероятность того, что все 3 извлечённые детали окажутся окрашенными:
\[ \boxed{\frac{24}{91}} \]
Если нужно, я могу помочь с объяснением каждого шага подробнее.
