1

Давайте разберем, как найти количество действительных корней уравнения \( x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \).

Шаг 1: Анализ уравнения

Это кубическое уравнение:
\[ x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \]

Для поиска корней часто удобно искать их аналитическим методом или методом анализа функции.

Обозначим функцию:
\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \]

Шаг 2: Исследование функции

Чтобы понять, сколько уравнений имеет решений, найдем ее производную и исследуем поведение функции.

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \]

Нули производной:
\[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \]

Это точки экстремума — максимум или минимум.

Шаг 3: Значения функции в точках экстремума

Посчитаем \( f(x) \) в этих точках:

• \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1 \)
• \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \)

Шаг 4: Области значений функции

Поскольку:

• в точке \( x = 0 \), \( f(0) = 1 \),
• в точке \( x = 2 \), \( f(2) = -3 \),

функция достигает максимум \( 1 \) на отрезке, а минимум \( -3 \), то есть:

• функция возрастает до точки \( x=0 \), где равна 1,
• затем убывает до точки \( x=2 \), где равна -3,
• затем возрастает дальше.

Шаг 5: Количество решений уравнения

Поскольку график функции «пересекает» ось \( x \) при значениях функции от \( -\infty \) до \( +\infty \), и в промежутках между экстремумами она переходит через 0.

График показывает, что функция:

• принимает значение 0 при двух точках (так как она пересекает ось \( x \) дважды).

Итог:

Ответ — у уравнения есть 2 действительных корня.

Правильный ответ:

с. 2

Если есть еще вопросы или нужно объяснение более подробно, обращайтесь!