1

Давайте разберем, как найти количество действительных корней уравнения \( x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \). ### Шаг 1: Анализ уравнения Это кубическое уравнение: \[ x^3 - 3x^2 + 1 = 0 \] Для поиска корней часто удобно искать их аналитическим методом или методом анализа функции. Обозначим функцию: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \] ### Шаг 2: Исследование функции Чтобы понять, сколько уравнений имеет решений, найдем ее производную и исследуем поведение функции. \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] Нули производной: \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \] Это точки экстремума — максимум или минимум. ### Шаг 3: Значения функции в точках экстремума Посчитаем \( f(x) \) в этих точках: - \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1 \) - \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \) ### Шаг 4: Области значений функции Поскольку: - в точке \( x = 0 \), \( f(0) = 1 \), - в точке \( x = 2 \), \( f(2) = -3 \), функция достигает максимум \( 1 \) на отрезке, а минимум \( -3 \), то есть: - функция возрастает до точки \( x=0 \), где равна 1, - затем убывает до точки \( x=2 \), где равна -3, - затем возрастает дальше. ### Шаг 5: Количество решений уравнения Поскольку график функции «пересекает» ось \( x \) при значениях функции от \( -\infty \) до \( +\infty \), и в промежутках между экстремумами она переходит через 0. График показывает, что функция: - принимает значение 0 при двух точках (так как она пересекает ось \( x \) дважды). ### Итог: Ответ — у уравнения есть **2 действительных корня**. ### Правильный ответ: **с. 2** --- Если есть еще вопросы или нужно объяснение более подробно, обращайтесь!