Реши примеры
Я вижу, что в задаче нужно решить несколько примеров по математике, связанной с интегралами, производными и графиками функций. Давайте разберем их пошагово:
1. Вычислить неопределенный интеграл:
\(\int 2x \, dx\)
Решение:
- Интеграл функции \(2x\) по \(x\):
\[ \int 2x \, dx = x^2 + C \]
где \(C\) — произвольная константа.
2. Вычислить определенный интеграл:
\(\int_2^3 (4x) \, dx\)
Решение:
- Сначала найдем первообразную для \(4x\):
\[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C \]
- Теперь подставим пределы:
\[ \left[ 2x^2 \right]_2^3 = 2 \times 3^2 - 2 \times 2^2 = 2 \times 9 - 2 \times 4 = 18 - 8 = 10 \]
Ответ: 10
3. Работа с графиком функции \( y = f(x) \):
Задача — найти производную функции в точке \(x_0\), используя касательную.
(Подробное решение требует интерпретации графика, но если понятно, что касательная в точке \(x_0\) имеет уравнение:
\( y = 3x - 6x^2 \) и что \( y'_{x_0} = 3 - 12x_0 \)).
Если в задаче \(x_0\) — известное число, подставьте его в выражение для производной.
4. Найти уравнение касательной:
Дано: \( y = 3x - 6x^2 \), в точке \(x_0 = -1\).
- Вычислим \( y' \):
\[ y' = 3 - 12x \]
- Подставляем \( x_0 = -1 \):
\[ y'_{-1} = 3 - 12 \times (-1) = 3 + 12 = 15 \]
- Значение функции в точке \(x_0 = -1\):
\[ y(-1) = 3(-1) - 6(-1)^2 = -3 - 6 = -9 \]
- Уравнение касательной в точке \((x_0, y_0) = (-1, -9)\):
\[ y - (-9) = 15 (x - (-1)) \]
\[ y + 9 = 15 (x + 1) \]
или
\[ y = 15x + 15 - 9 = 15x + 6 \]
5. Площадь фигуры, ограниченной линиями \(f(x) = x^2\) и \(f(x) = 2 - x\):
- Находим точки пересечения, решая:
\[ x^2 = 2 - x \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
- Получаем:
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
На интервале от \(-2\) до \(1\) фигура ограничена этими функциями.
Площадь:
\[ \text{S} = \int_{-2}^{1} \left[ (2 - x) - x^2 \right] dx \]
- Вычислим:
\[ \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \]
- Подставляем верхний предел \(x=1\):
\[ 2 \times 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.333... = 1.166... \]
- Подставляем нижний предел \(x=-2\):
\[ 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + 2.666... = -3.333... \]
- Разность:
\[ 1.166... - (-3.333...) = 1.166 + 3.333 = 4.5 \]
Ответ: площадь равна приблизительно 4.5.
6. Исследование функции \(f(x) = 3x^2 - x^3\):
- Найти её экстремумы, исследуя производную:
\[ f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x (2 - x) \]
- Решим \(f'(x) = 0\):
\[ 3x (2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]
- Исследуем знак второй производной для определения характера точек экстремума:
\[ f''(x) = 6 - 6x \]
- В точке \(x = 0\):
\[ f''(0) = 6 - 0 = 6 > 0 \Rightarrow минимум \]
- В точке \(x = 2\):
\[ f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0 \Rightarrow максимум \]
Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение какого-то из шагов, я готов помочь!
