Реши примеры

Я вижу, что в задаче нужно решить несколько примеров по математике, связанной с интегралами, производными и графиками функций. Давайте разберем их пошагово: --- ### 1. Вычислить неопределенный интеграл: \(\int 2x \, dx\) **Решение:** - Интеграл функции \(2x\) по \(x\): \[ \int 2x \, dx = x^2 + C \] где \(C\) — произвольная константа. --- ### 2. Вычислить определенный интеграл: \(\int_2^3 (4x) \, dx\) **Решение:** - Сначала найдем первообразную для \(4x\): \[ \int 4x \, dx = 2x^2 + C \] - Теперь подставим пределы: \[ \left[ 2x^2 \right]_2^3 = 2 \times 3^2 - 2 \times 2^2 = 2 \times 9 - 2 \times 4 = 18 - 8 = 10 \] **Ответ: 10** --- ### 3. Работа с графиком функции \( y = f(x) \): Задача — найти производную функции в точке \(x_0\), используя касательную. (Подробное решение требует интерпретации графика, но если понятно, что касательная в точке \(x_0\) имеет уравнение: \( y = 3x - 6x^2 \) и что \( y'_{x_0} = 3 - 12x_0 \)). Если в задаче \(x_0\) — известное число, подставьте его в выражение для производной. --- ### 4. Найти уравнение касательной: Дано: \( y = 3x - 6x^2 \), в точке \(x_0 = -1\). - Вычислим \( y' \): \[ y' = 3 - 12x \] - Подставляем \( x_0 = -1 \): \[ y'_{-1} = 3 - 12 \times (-1) = 3 + 12 = 15 \] - Значение функции в точке \(x_0 = -1\): \[ y(-1) = 3(-1) - 6(-1)^2 = -3 - 6 = -9 \] - Уравнение касательной в точке \((x_0, y_0) = (-1, -9)\): \[ y - (-9) = 15 (x - (-1)) \] \[ y + 9 = 15 (x + 1) \] или \[ y = 15x + 15 - 9 = 15x + 6 \] --- ### 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями \(f(x) = x^2\) и \(f(x) = 2 - x\): - Находим точки пересечения, решая: \[ x^2 = 2 - x \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] - Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] - Получаем: \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -2 \] - На интервале от \(-2\) до \(1\) фигура ограничена этими функциями. - Площадь: \[ \text{S} = \int_{-2}^{1} \left[ (2 - x) - x^2 \right] dx \] - Вычислим: \[ \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \] - Подставляем верхний предел \(x=1\): \[ 2 \times 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 2 - 0.5 - 0.333... = 1.166... \] - Подставляем нижний предел \(x=-2\): \[ 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + 2.666... = -3.333... \] - Разность: \[ 1.166... - (-3.333...) = 1.166 + 3.333 = 4.5 \] **Ответ: площадь равна приблизительно 4.5.** --- ### 6. Исследование функции \(f(x) = 3x^2 - x^3\): - Найти её экстремумы, исследуя производную: \[ f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x (2 - x) \] - Решим \(f'(x) = 0\): \[ 3x (2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \] - Исследуем знак второй производной для определения характера точек экстремума: \[ f''(x) = 6 - 6x \] - В точке \(x = 0\): \[ f''(0) = 6 - 0 = 6 > 0 \Rightarrow минимум \] - В точке \(x = 2\): \[ f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0 \Rightarrow максимум \] --- Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение какого-то из шагов, я готов помочь!