Определить количество действительных корней уравнения Выберите один ответ: a. 4 b. 3 c. 2 d. 1

Дано уравнение: \[ x^3 - 1,5x^2 + 0,2 = 0 \]

Цель — определить количество действительных корней этого уравнения.

Шаг 1. Анализ уравнения
Это кубическое уравнение, поскольку степень главного члена — 3. Для начала лучше всего рассмотреть его поведение и найти возможные корни или способы их определения.

Шаг 2. Визуализация функции
Обозначим функцию: \[ f(x) = x^3 - 1,5x^2 + 0,2 \]

Нужно понять, сколько точек пересечения графика функции с осью x — то есть — сколько решений уравнения.

Шаг 3. Нахождение производной
Это поможет понять, где функция возрастает или убывает, и найти возможные экстремумы, что важно для определения числа корней.

\[ f'(x) = 3x^2 - 3x = 3x(x - 1) \]

Это производная равна нулю при: \[ 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]

Шаг 4. Исследование знака производной

• Для \( x < 0 \): \( f'(x) = 3x(x - 1) \), оба множителя отрицательны \(\Rightarrow\) произведение положительно, значит \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает).
• Для \( 0 < x < 1 \): \( x > 0 \), \( x - 1 < 0 \), произведение — отрицательно, значит \( f'(x) < 0 \) (функция убывает).
• Для \( x > 1 \): оба множителя — положительные, произведение — положительно, функция возрастает.

Итак, график функции:

• возрастает на \((-\infty, 0)\),
• убывает на \((0,1)\),
• снова возрастает на \((1, +\infty)\).

Шаг 5. Определение экстремумов
Теперь найдём значения функции в точках экстремума \( x=0 \) и \( x=1 \):

• при \( x=0 \):
  \[ f(0) = 0^3 - 1,5 \cdot 0^2 + 0,2 = 0 + 0 + 0.2 = 0.2 \]
• при \( x=1 \):
  \[ f(1) = 1 - 1,5 + 0,2 = (1 - 1.5) + 0.2 = -0.5 + 0.2 = -0.3 \]

Параметры функции:

• на интервале \( (-\infty, 0) \) — функция возрастает, при \( x \to -\infty \): \( f(x) \to -\infty \).
• в точке \( x=0 \): \( f(0) = 0.2 \).

Значения переменной в области:

• при \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \).
• при \( x=0 \), \( f(0)=0.2 \).

Значит, на этом участке функция переходит от \( -\infty \) к 0.2, то есть пересекает ось x ровно один раз.

Далее, на интервале \( (0,1) \), функция убывает и при \( x=1 \), \( f(1) = -0.3 \).
Так как в начале этой области в точке 0, \( f(0)=0.2 \), а в конце — \( -0.3 \), то она должна пересечь ось x тоже — подтверждение одного корня.

На интервале \( (1, +\infty) \), функция возрастает и при \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).
Значение в точке \( x=1 \) — \( -0.3 \).

Так как в этой точке значение отрицательное, а при «бесконечности» — бесконечность, функция пересекает ось x еще один раз.

ИТОГ:
Функция пересекает ось x — то есть уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: b. 3

Если хотите, я могу помочь и с более точным нахождением корней или построением графика!