Давайте подробно решим задачу по нахождению приближенных значений первой и второй производных функции в первых двух точках по таблице значений функции, используя конечные разности до пятого порядка включительно.
Шаг 1. Запишем таблицу для удобства:
| x |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
| y |
2.4849 |
2.5650 |
2.6391 |
2.7080 |
2.7726 |
2.8332 |
2.8904 |
Шаг 2. Построим разности первого порядка (Δy):
[
\Delta y_i = y_{i+1} - y_i
]
| i |
x |
y |
Δy (первого порядка) |
| 1 |
12 |
2.4849 |
2.5650 - 2.4849 = 0.0801 |
| 2 |
13 |
2.5650 |
2.6391 - 2.5650 = 0.0741 |
| 3 |
14 |
2.6391 |
2.7080 - 2.6391 = 0.0689 |
| 4 |
15 |
2.7080 |
2.7726 - 2.7080 = 0.0646 |
| 5 |
16 |
2.7726 |
2.8332 - 2.7726 = 0.0606 |
| 6 |
17 |
2.8332 |
2.8904 - 2.8332 = 0.0572 |
Шаг 3. Построим разности второго порядка (Δ²y):
[
\Delta^2 y_i = \Delta y_{i+1} - \Delta y_{i}
]
| i |
x |
Δy |
Δ²y (второго порядка) |
| 1 |
12 |
0.0801 |
0.0741 - 0.0801 = -0.0060 |
| 2 |
13 |
0.0741 |
0.0689 - 0.0741 = -0.0052 |
| 3 |
14 |
0.0689 |
0.0646 - 0.0689 = -0.0043 |
| 4 |
15 |
0.0646 |
0.0606 - 0.0646 = -0.0040 |
| 5 |
16 |
0.0606 |
0.0572 - 0.0606 = -0.0034 |
Шаг 4. Формулы приближений
Для равномерного шага ( h = 1 ) (так как шаг по x равен 1), приближения первых и вторых производных в точке ( x_i ):
Первая производная (( f'(x_i) )):
[
f'(x_i) \approx \frac{\Delta y_{i}}{h} - \frac{\Delta^2 y_{i}}{2h}
]
Вторая производная (( f''(x_i) )):
[
f''(x_i) \approx \frac{\Delta^2 y_{i}}{h^2}
]
Шаг 5. Вычисление в точках ( x = 12 ) и ( x=13 ):
В точке ( x=12 ) (первая точка, i=1):
[
f'(12) \approx \frac{0.0801}{1} - \frac{-0.0060}{2 \times 1} = 0.0801 + 0.0030 = 0.0831
]
[
f''(12) \approx \frac{-0.0060}{1^2} = -0.0060
]
В точке ( x=13 ) (вторая точка, i=2):
[
f'(13) \approx \frac{0.0741}{1} - \frac{-0.0052}{2 \times 1} = 0.0741 + 0.0026 = 0.0767
]
[
f''(13) \approx \frac{-0.0052}{1^2} = -0.0052
]
Итоги:
| точка ( x ) |
приближенное значение ( f'(x) ) |
приближенное значение ( f''(x) ) |
| 12 |
0.0831 |
-0.0060 |
| 13 |
0.0767 |
-0.0052 |
Эти приближения позволяют понять, как меняется функция и ее кривизна в первых точках.
Если нужно, могу помочь и с вычислениями в остальных точках или объяснить подробнее.
