В задачах 61-80 функция y=f(x) задана таблицей. Используя конечные разности до пятого порядка включительно, найти приближѐнные значения первой и второй производных этой функции в…

Давайте подробно решим задачу по нахождению приближенных значений первой и второй производных функции в первых двух точках по таблице значений функции, используя конечные разности до пятого порядка включительно.

Шаг 1. Запишем таблицу для удобства:

Шаг 2. Построим разности первого порядка (Δy):

\[ \Delta y_i = y_{i+1} - y_i \]

Шаг 3. Построим разности второго порядка (Δ²y):

\[ \Delta^2 y_i = \Delta y_{i+1} - \Delta y_{i} \]

Шаг 4. Формулы приближений

Для равномерного шага \( h = 1 \) (так как шаг по x равен 1), приближения первых и вторых производных в точке \( x_i \):

1. Первая производная (\( f'(x_i) \)): \[ f'(x_i) \approx \frac{\Delta y_{i}}{h} - \frac{\Delta^2 y_{i}}{2h} \]

2. Вторая производная (\( f''(x_i) \)): \[ f''(x_i) \approx \frac{\Delta^2 y_{i}}{h^2} \]

Шаг 5. Вычисление в точках \( x = 12 \) и \( x=13 \):

В точке \( x=12 \) (первая точка, i=1):

\[ f'(12) \approx \frac{0.0801}{1} - \frac{-0.0060}{2 \times 1} = 0.0801 + 0.0030 = 0.0831 \]

\[ f''(12) \approx \frac{-0.0060}{1^2} = -0.0060 \]

В точке \( x=13 \) (вторая точка, i=2):

\[ f'(13) \approx \frac{0.0741}{1} - \frac{-0.0052}{2 \times 1} = 0.0741 + 0.0026 = 0.0767 \]

\[ f''(13) \approx \frac{-0.0052}{1^2} = -0.0052 \]

Итоги:

Эти приближения позволяют понять, как меняется функция и ее кривизна в первых точках.

Если нужно, могу помочь и с вычислениями в остальных точках или объяснить подробнее.