Реши 2 задачу

Давайте вместе решим задачи, указанные в изображении, с подробным объяснением. --- ### Задача 2 Вычислить двойной интеграл: \[ \iint_D (4xy + 3x^2 y^2) \, dx\, dy \] где область \(D\): \(x=1\), \(y=x^2\), \(y=-\sqrt{x}\). **Пояснение и решение:** 1. **Анализ области \(D\):** - \(x=1\) - \(y=x^2\) - \(y=-\sqrt{x}\) Область ограничена: - по вертикали: \(x\) от 0 до 1 (так как у нас есть выражения для \(y\) при \(\sqrt{x}\)), - по горизонтали — между кривыми \(y = x^2\) (верхняя граница) и \(y = -\sqrt{x}\) (нижняя граница). 2. **Параметры интегрирования:** - \(x\) от 0 до 1, - \(y\) от \(-\sqrt{x}\) до \(x^2\). Тогда двойной интеграл просто: \[ \int_{x=0}^1 \int_{y=-\sqrt{x}}^{x^2} (4xy + 3x^2 y^2) \, dy \, dx. \] 3. **Вычисление внутри по \(dy\):** - Перейдем к интегрированию по \(y\): \[ I(x) = \int_{-\sqrt{x}}^{x^2} (4xy + 3x^2 y^2) \, dy. \] Рассчитаем каждое интеграл отдельно: \[ \int (4xy) \, dy = 4x \int y \, dy = 4x \cdot \frac{y^2}{2} = 2x y^2, \] и \[ \int 3x^2 y^2 \, dy = 3x^2 \cdot \frac{y^3}{3} = x^2 y^3. \] Подставим пределы и получим: \[ I(x) = \left[ 2x y^2 + x^2 y^3 \right]_{y = -\sqrt{x}}^{y= x^2}. \] 4. **Вычисление по границам:** - при \( y = x^2 \): \[ 2x (x^2)^2 + x^2 (x^2)^3 = 2x \cdot x^4 + x^2 \cdot x^6 = 2x^5 + x^8, \] - при \( y= -\sqrt{x} \): \[ 2x (-\sqrt{x})^2 + x^2 (-\sqrt{x})^3 = 2x \cdot x + x^2 \cdot (-x^{1/2})^3. \] Поскольку: \[ (-\sqrt{x})^2 = x, \] и \[ (-\sqrt{x})^3 = - x^{3/2}, \] то получаем: \[ 2x \cdot x + x^2 \cdot (- x^{3/2}) = 2x^2 - x^2 \cdot x^{3/2} = 2x^2 - x^{2 + 3/2} = 2x^2 - x^{ (4/2)+(3/2)} = 2x^2 - x^{7/2}. \] 5. **Общий результат:** \[ I(x) = (2x^5 + x^8) - (2x^2 - x^{7/2}) = 2x^5 + x^8 - 2x^2 + x^{7/2}. \] 6. **Интеграл по \(x\):** \[ \int_{0}^{1} I(x) \, dx = \int_{0}^{1} \left( 2x^5 + x^8 - 2x^2 + x^{7/2} \right) dx. \] Рассчитаем по частям: - \(\int 2x^5 dx = 2 \cdot \frac{x^{6}}{6} = \frac{x^{6}}{3}\), - \(\int x^8 dx = \frac{x^{9}}{9}\), - \(\int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{2}{3}x^{3}\), - \(\int x^{7/2} dx = \frac{x^{(7/2)+1}}{(7/2)+1} = \frac{x^{9/2}}{9/2} = \frac{2}{9} x^{9/2}\). На границах от 0 до 1: \[ \left[ \frac{x^6}{3} + \frac{x^9}{9} - \frac{2}{3} x^3 + \frac{2}{9} x^{9/2} \right]_0^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + \frac{2}{9}. \] Теперь складываем: \[ \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}, \] и \[ \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \] Итого: \[ -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0. \] **Ответ: \(\boxed{0}\).** --- Если нужно решение по другим задачам — скажите!