Реши 2 задачу
Давайте вместе решим задачи, указанные в изображении, с подробным объяснением.
Задача 2
Вычислить двойной интеграл:
\[
\iint_D (4xy + 3x^2 y^2) \, dx\, dy
\]
где область \(D\): \(x=1\), \(y=x^2\), \(y=-\sqrt{x}\).
Пояснение и решение:
- Анализ области \(D\):
- \(x=1\)
- \(y=x^2\)
- \(y=-\sqrt{x}\)
Область ограничена:
- по вертикали: \(x\) от 0 до 1 (так как у нас есть выражения для \(y\) при \(\sqrt{x}\)),
- по горизонтали — между кривыми \(y = x^2\) (верхняя граница) и \(y = -\sqrt{x}\) (нижняя граница).
- Параметры интегрирования:
- \(x\) от 0 до 1,
- \(y\) от \(-\sqrt{x}\) до \(x^2\).
Тогда двойной интеграл просто:
\[
\int_{x=0}^1 \int_{y=-\sqrt{x}}^{x^2} (4xy + 3x^2 y^2) \, dy \, dx.
\]
- Вычисление внутри по \(dy\):
- Перейдем к интегрированию по \(y\):
\[ I(x) = \int_{-\sqrt{x}}^{x^2} (4xy + 3x^2 y^2) \, dy. \]
Рассчитаем каждое интеграл отдельно:
\[ \int (4xy) \, dy = 4x \int y \, dy = 4x \cdot \frac{y^2}{2} = 2x y^2, \]
и
\[ \int 3x^2 y^2 \, dy = 3x^2 \cdot \frac{y^3}{3} = x^2 y^3. \]
Подставим пределы и получим:
\[ I(x) = \left[ 2x y^2 + x^2 y^3 \right]_{y = -\sqrt{x}}^{y= x^2}. \]
- Вычисление по границам:
- при \( y = x^2 \):
\[ 2x (x^2)^2 + x^2 (x^2)^3 = 2x \cdot x^4 + x^2 \cdot x^6 = 2x^5 + x^8, \]
- при \( y= -\sqrt{x} \):
\[ 2x (-\sqrt{x})^2 + x^2 (-\sqrt{x})^3 = 2x \cdot x + x^2 \cdot (-x^{1/2})^3. \]
Поскольку:
\[ (-\sqrt{x})^2 = x, \]
и
\[ (-\sqrt{x})^3 = - x^{3/2}, \]
то получаем:
\[ 2x \cdot x + x^2 \cdot (- x^{3/2}) = 2x^2 - x^2 \cdot x^{3/2} = 2x^2 - x^{2 + 3/2} = 2x^2 - x^{ (4/2)+(3/2)} = 2x^2 - x^{7/2}. \]
- Общий результат:
\[ I(x) = (2x^5 + x^8) - (2x^2 - x^{7/2}) = 2x^5 + x^8 - 2x^2 + x^{7/2}. \]
- Интеграл по \(x\):
\[ \int_{0}^{1} I(x) \, dx = \int_{0}^{1} \left( 2x^5 + x^8 - 2x^2 + x^{7/2} \right) dx. \]
Рассчитаем по частям:
- \(\int 2x^5 dx = 2 \cdot \frac{x^{6}}{6} = \frac{x^{6}}{3}\),
- \(\int x^8 dx = \frac{x^{9}}{9}\),
- \(\int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{2}{3}x^{3}\),
- \(\int x^{7/2} dx = \frac{x^{(7/2)+1}}{(7/2)+1} = \frac{x^{9/2}}{9/2} = \frac{2}{9} x^{9/2}\).
На границах от 0 до 1:
\[ \left[ \frac{x^6}{3} + \frac{x^9}{9} - \frac{2}{3} x^3 + \frac{2}{9} x^{9/2} \right]_0^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + \frac{2}{9}. \]
Теперь складываем:
\[ \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}, \]
и
\[ \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]
Итого:
\[ -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0. \]
Ответ: \(\boxed{0}\).
Если нужно решение по другим задачам — скажите!
