Вершины четырёхугольника имеют координаты К (0; 1), L (-2; 4), M (4; 8), N (6; 5). 1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов). 2. Найдите косинус…

Разберем каждую задачу по очереди. Перед этим обозначим координаты вершин четырёхугольника:

• \( K(0, 1) \)
• \( L(-2, 4) \)
• \( M(4, 8) \)
• \( N(6, 5) \)

---

1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов)

Шаг 1: Найти векторные координаты сторон

Для этого вычислим векторы сторон, например, по порядку, например, \( KL \), \( LM \), \( MN \), \( NK \):

• \( \vec{KL} = L - K = (-2 - 0, 4 - 1) = (-2, 3) \)
• \( \vec{LM} = M - L = (4 - (-2), 8 - 4) = (6, 4) \)
• \( \vec{MN} = N - M = (6 - 4, 5 - 8) = (2, -3) \)
• \( \vec{NK} = K - N = (0 - 6, 1 - 5) = (-6, -4) \)

---

Шаг 2: Проверить перпендикулярность соседних сторон

Для прямоугольника, все углы должны быть прямыми, следовательно, соседние стороны должны быть перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно 0.

• \( \vec{KL} \cdot \vec{LM} = (-2) \times 6 + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0 \) — перпендикулярны

• \( \vec{LM} \cdot \vec{MN} = 6 \times 2 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0 \) — перпендикулярны

• \( \vec{MN} \cdot \vec{NK} = 2 \times (-6) + (-3) \times (-4) = -12 + 12 = 0 \) — перпендикулярны

• Для стороны \( \vec{KN} \), её можно проверить также, но так как два соседних угла уже перпендикулярны, а в четырёхугольнике это достаточно, можно сделать вывод.

Вывод:

Все соседние стороны перпендикулярны. Значит, четырехугольник является прямоугольником.

---

2. Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов)

Шаг 1: Вычислить диагонали

Диагонали — это линии, соединяющие противоположные вершины: \( MO \) и \( NK \).

Поскольку у нас есть вершины \( K, L, M, N \) в порядке, предположим, что диагонали — это \( M \)-\( K \) и \( L \)-\( N \).

Но для четырехугольника с вершинами в порядке \( K, L, M, N \), диагонали проходят через \( K \)-\( M \) и \( L \)-\( N \).

• \( \vec{KM} = M - K = (4 - 0, 8 - 1) = (4, 7) \)
• \( \vec{LN} = N - L = (6 - (-2), 5 - 4) = (8, 1) \)

---

Шаг 2: Найти косинус угла между диагоналями

Косинус угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \cos \theta = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{a}| \times |\vec{b}| } \]

• \( \vec{KM} \cdot \vec{LN} = 4 \times 8 + 7 \times 1 = 32 + 7 = 39 \)

• Длина вектора \( \vec{KM} \):

\[ |\vec{KM}| = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \]

• Длина вектора \( \vec{LN} \):

\[ |\vec{LN}| = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \]

---

Итог:

\[ \cos \theta = \frac{39}{\sqrt{65} \times \sqrt{65}} = \frac{39}{65} = \frac{39}{65} = \frac{3 \times 13}{5 \times 13} = \frac{3}{5} \]

Ответ:

\[ \boxed{\cos \theta = \frac{3}{5}} \]

---

3. Найдите площадь прямоугольника (10 баллов)

Поскольку мы доказали, что четырехугольник — прямоугольник, можно найти его площадь посредством произведения длин двух соседних сторон.

Например, стороны \( KL \) и \( LM \):

• \( |\vec{KL}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)

• \( |\vec{LM}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \)

Площадь:

\[ S = |\vec{KL}| \times |\vec{LM}| = \sqrt{13} \times \sqrt{52} = \sqrt{13 \times 52} = \sqrt{676} = 26 \]

---

Итоговые ответы:

1. Данный четырехугольник — прямоугольник, так как все его стороны перпендикулярны соседним.
2. Косинус угла между диагоналями равен \(\frac{3}{5}\).
3. Площадь этого прямоугольника составляет 26 единиц квадратных.

Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то объяснить — обращайтесь!