Вершины четырёхугольника имеют координаты К (0; 1), L (-2; 4), M (4; 8), N (6; 5). 1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов). 2. Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов). 3. Найдите площадь прямоугольника (10 баллов).

Разберем каждую задачу по очереди. Перед этим обозначим координаты вершин четырёхугольника: - \( K(0, 1) \) - \( L(-2, 4) \) - \( M(4, 8) \) - \( N(6, 5) \) --- ## 1. Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов) ### Шаг 1: Найти векторные координаты сторон Для этого вычислим векторы сторон, например, по порядку, например, \( KL \), \( LM \), \( MN \), \( NK \): - \( \vec{KL} = L - K = (-2 - 0, 4 - 1) = (-2, 3) \) - \( \vec{LM} = M - L = (4 - (-2), 8 - 4) = (6, 4) \) - \( \vec{MN} = N - M = (6 - 4, 5 - 8) = (2, -3) \) - \( \vec{NK} = K - N = (0 - 6, 1 - 5) = (-6, -4) \) --- ### Шаг 2: Проверить перпендикулярность соседних сторон Для прямоугольника, все углы должны быть прямыми, следовательно, соседние стороны должны быть перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно 0. - \( \vec{KL} \cdot \vec{LM} = (-2) \times 6 + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0 \) — **перпендикулярны** - \( \vec{LM} \cdot \vec{MN} = 6 \times 2 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0 \) — **перпендикулярны** - \( \vec{MN} \cdot \vec{NK} = 2 \times (-6) + (-3) \times (-4) = -12 + 12 = 0 \) — **перпендикулярны** - Для стороны \( \vec{KN} \), её можно проверить также, но так как два соседних угла уже перпендикулярны, а в четырёхугольнике это достаточно, можно сделать вывод. ### **Вывод:** Все соседние стороны перпендикулярны. Значит, четырехугольник является **прямоугольником**. --- ## 2. Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов) ### Шаг 1: Вычислить диагонали Диагонали — это линии, соединяющие противоположные вершины: \( MO \) и \( NK \). Поскольку у нас есть вершины \( K, L, M, N \) в порядке, предположим, что диагонали — это \( M \)-\( K \) и \( L \)-\( N \). Но для четырехугольника с вершинами в порядке \( K, L, M, N \), диагонали проходят через \( K \)-\( M \) и \( L \)-\( N \). - \( \vec{KM} = M - K = (4 - 0, 8 - 1) = (4, 7) \) - \( \vec{LN} = N - L = (6 - (-2), 5 - 4) = (8, 1) \) --- ### Шаг 2: Найти косинус угла между диагоналями Косинус угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \cos \theta = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{a}| \times |\vec{b}| } \] - \( \vec{KM} \cdot \vec{LN} = 4 \times 8 + 7 \times 1 = 32 + 7 = 39 \) - Длина вектора \( \vec{KM} \): \[ |\vec{KM}| = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \] - Длина вектора \( \vec{LN} \): \[ |\vec{LN}| = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \] --- ### Итог: \[ \cos \theta = \frac{39}{\sqrt{65} \times \sqrt{65}} = \frac{39}{65} = \frac{39}{65} = \frac{3 \times 13}{5 \times 13} = \frac{3}{5} \] **Ответ:** \[ \boxed{\cos \theta = \frac{3}{5}} \] --- ## 3. Найдите площадь прямоугольника (10 баллов) Поскольку мы доказали, что четырехугольник — прямоугольник, можно найти его площадь посредством произведения длин двух соседних сторон. Например, стороны \( KL \) и \( LM \): - \( |\vec{KL}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \) - \( |\vec{LM}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \) Площадь: \[ S = |\vec{KL}| \times |\vec{LM}| = \sqrt{13} \times \sqrt{52} = \sqrt{13 \times 52} = \sqrt{676} = 26 \] --- ## Итоговые ответы: 1. **Данный четырехугольник — прямоугольник**, так как все его стороны перпендикулярны соседним. 2. **Косинус угла между диагоналями равен \(\frac{3}{5}\)**. 3. **Площадь этого прямоугольника составляет 26 единиц квадратных**. Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то объяснить — обращайтесь!