гдз по алгебре Мордкович 11 класс
Конечно! Вот пример подробного решения типичной задачи из учебника по алгебре Мордковича для 11 класса с объяснениями.
Задача (пример):
Рассмотреть функцию \( y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \).
Найти ее область определения, провести анализ графика, определить экстремумы и асимптоты.
Решение:
1. Область определения функции
Функция задана в виде дроби, поэтому необходимо исключить из области все значения, при которых знаменатель равен нулю:
\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Ответ: область определения — все числа, кроме \( x=1 \):
\[ D: \quad \mathbb{R} \setminus \{1\} \]
2. Упрощение функции
Чтобы лучше анализировать график, упростим выражение, сделав деление многочлена:
Деление: делим числитель \( 2x^2 - 3x + 1 \) на делитель \( x - 1 \):
- Поиск многочлена частного.
Используем деление в столбик или схему.
\[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \]
Предварительно попробуем представить числитель как произведение:
Поищем деление:
- Поскольку степень числителя равна двум, а делителя — первой, попробуем разложить числитель на множители.
Рассмотрим факторизацию:
\[ 2x^2 - 3x + 1 \]
Используйте формулу для корней квадратного уравнения:
\[ a=2, \quad b=-3, \quad c=1 \]
Дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4} \]
\[ x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1,\quad x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \]
Факторизация:
\[ 2x^2 - 3x + 1 = 2(x - 1)(x - \tfrac{1}{2}) \]
Таким образом,
\[ y = \frac{2(x - 1)(x - \frac{1}{2})}{x - 1} \]
Для \( x \neq 1 \) можно сократить на \( (x - 1) \):
\[ y = 2(x - \tfrac{1}{2}) \]
Вывод:
- При \( x \neq 1 \):
\[ y = 2x - 1 \]
- В точке \( x=1 \) функция не определена (уступает разрыв).
3. График функции и его свойства
Ведущая часть — это прямая \( y=2x-1 \).
Разрыв вида «устойчивая точка» в точке \( x=1 \):
в ней функция не определена, хотя казалось бы, по формуле — это та же прямая.Асимптоты:
Непрерывная часть — это прямая \( y=2x-1 \) за исключением точки \( x=1 \).
Вертикальной асимптотой нет, так как в исходном виде везде, кроме \( x=1 \), функция совпадает с этой же прямой.
4. Анализ функции
Область определения: все \( \mathbb{R} \), кроме \( x=1 \).
График: это прямая \( y=2x-1 \), за исключением точки \( x=1 \), где есть разрыв.
Экстремумы — у линейной функции экстремумов не бывает.
Лимиты в точке разрыва:
\[ \lim_{x \to 1^-} y = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \] \[ \lim_{x \to 1^+} y = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \]
- Значит, существует «устойчивая» точка в \( y=1 \), хотя функция там не определена.
Итог:
- График — это прямая \( y=2x - 1 \), за исключением точки \( x=1 \), где существует разрыв.
- Ассимптот — отсутствуют.
- Экстремумов нет.
Если есть конкретная задача из "Мордковича" или нужно решение другого типа, присылайте — подготовлю подробно!
