Условие задачи немного непонятно из-за формата, как будто есть опечатки или ошибочные символы. Попробую предположить, что имелось в виду следующая задача:
Вычислить определённый интеграл:
[
\int (2 - 2x^3 + 4x'), dx
]
Здесь, вероятно, есть опечатка или лишний символ ( x' ). Возможно, имелось в виду:
- Просто интегрировать выражение ( 2 - 2x^3 + 4x ),
- Или, если ( x' ) — это производная ( x ) по какому-то параметру, то это задачу с дифференциальным уравнением или с заменой переменной.
Тем не менее, предположим, что правильное выражение — это интеграл от функции:
[
2 - 2x^3 + 4x
]
и надо найти неопределённый интеграл:
[
\int (2 - 2x^3 + 4x), dx
]
Если это так, вот решение.
Решение
Интеграл:
[
I = \int (2 - 2x^3 + 4x), dx
]
Шаг 1: Разделим интеграл на части:
[
I = \int 2, dx - \int 2x^3, dx + \int 4x, dx
]
Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое:
- (\int 2, dx = 2x + C_1)
- (\int 2x^3, dx = 2 \int x^3, dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 + C_2)
- (\int 4x, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 + C_3)
Шаг 3: Собираем результат и не забываем про произвольную константу интегрирования ( C ):
[
I = 2x - \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + C
]
Итоговое решение:
[
\boxed{
\int (2 - 2x^3 + 4x), dx = 2x + 2x^2 - \frac{1}{2}x^4 + C
}
]
Если же оригинальное задание всё-таки связано с дифференциалом или есть другие нюансы, пожалуйста, уточните, и я помогу с более точным ответом!
