5. Вычислите определённый интеграл: 2 - 2x3 + 4x'dx
Условие задачи немного непонятно из-за формата, как будто есть опечатки или ошибочные символы. Попробую предположить, что имелось в виду следующая задача:
Вычислить определённый интеграл: \[ \int (2 - 2x^3 + 4x')\, dx \]
Здесь, вероятно, есть опечатка или лишний символ \( x' \). Возможно, имелось в виду:
- Просто интегрировать выражение \( 2 - 2x^3 + 4x \),
- Или, если \( x' \) — это производная \( x \) по какому-то параметру, то это задачу с дифференциальным уравнением или с заменой переменной.
Тем не менее, предположим, что правильное выражение — это интеграл от функции: \[ 2 - 2x^3 + 4x \]
и надо найти неопределённый интеграл:
\[ \int (2 - 2x^3 + 4x)\, dx \]
Если это так, вот решение.
Решение
Интеграл:
\[ I = \int (2 - 2x^3 + 4x)\, dx \]
Шаг 1: Разделим интеграл на части:
\[ I = \int 2\, dx - \int 2x^3\, dx + \int 4x\, dx \]
Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое:
- \(\int 2\, dx = 2x + C_1\)
- \(\int 2x^3\, dx = 2 \int x^3\, dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 + C_2\)
- \(\int 4x\, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 + C_3\)
Шаг 3: Собираем результат и не забываем про произвольную константу интегрирования \( C \):
\[ I = 2x - \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + C \]
Итоговое решение:
\[ \boxed{ \int (2 - 2x^3 + 4x)\, dx = 2x + 2x^2 - \frac{1}{2}x^4 + C } \]
Если же оригинальное задание всё-таки связано с дифференциалом или есть другие нюансы, пожалуйста, уточните, и я помогу с более точным ответом!
