F'(x)=(4cos^2x/4+√e^x+1/x)'

Конечно! Расмотрим задачу по вычислению производной функции: \[f'(x) = \left(\frac{4 \cos^2 x}{4} + \sqrt{e^x} + \frac{1}{x}\right)'\] ### Шаг 1. Упростим выражение внутри скобок Обратите внимание, что первый член: \[ \frac{4 \cos^2 x}{4} = \cos^2 x \] второй член: \[ \sqrt{e^x} = (e^x)^{1/2} \] Итак, функция внутри скобок: \[ f(x) = \cos^2 x + (e^x)^{1/2} + \frac{1}{x} \] ### Шаг 2. Построим по частям производную каждого слагаемого --- #### 1. Производная \(\cos^2 x\) Используем цепное правило: \[ \frac{d}{dx} \cos^2 x = 2 \cos x \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x \] Можно оставить так, либо воспользоваться формулой двойного угла: \[ -2 \cos x \sin x = - \sin 2x \] Зафиксируем первый вариант — оставим \(-2 \cos x \sin x\), он более явно отражает цепное правило. --- #### 2. Производная \((e^x)^{1/2}\) Запишем: \[ (e^x)^{1/2} = e^{x/2} \] Производная: \[ \frac{d}{dx} e^{x/2} = e^{x/2} \cdot \frac{1}{2} \] --- #### 3. Производная \(\frac{1}{x}\) Используем стандартное правило: \[ \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \] --- ### Шаг 3. Итоговая производная Итак, собрав все части: \[ f'(x) = -2 \cos x \sin x + \frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{x^2} \] или, используя тригонометрическую формулу: \[ -2 \cos x \sin x = - \sin 2x \] ## Итечный ответ: \[ \boxed{ f'(x) = - \sin 2x + \frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{x^2} } \] Если нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!