f'(x)=(4cos^2x/4+√e^x+1/x)'
Конечно! Расмотрим задачу по вычислению производной функции:
\[f'(x) = \left(\frac{4 \cos^2 x}{4} + \sqrt{e^x} + \frac{1}{x}\right)'\]
Шаг 1. Упростим выражение внутри скобок
Обратите внимание, что первый член:
\[ \frac{4 \cos^2 x}{4} = \cos^2 x \]
второй член:
\[ \sqrt{e^x} = (e^x)^{1/2} \]
Итак, функция внутри скобок:
\[ f(x) = \cos^2 x + (e^x)^{1/2} + \frac{1}{x} \]
Шаг 2. Построим по частям производную каждого слагаемого
1. Производная \(\cos^2 x\)
Используем цепное правило:
\[ \frac{d}{dx} \cos^2 x = 2 \cos x \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \cos x \sin x \]
Можно оставить так, либо воспользоваться формулой двойного угла:
\[ -2 \cos x \sin x = - \sin 2x \]
Зафиксируем первый вариант — оставим \(-2 \cos x \sin x\), он более явно отражает цепное правило.
2. Производная \((e^x)^{1/2}\)
Запишем:
\[ (e^x)^{1/2} = e^{x/2} \]
Производная:
\[ \frac{d}{dx} e^{x/2} = e^{x/2} \cdot \frac{1}{2} \]
3. Производная \(\frac{1}{x}\)
Используем стандартное правило:
\[ \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} \]
Шаг 3. Итоговая производная
Итак, собрав все части:
\[ f'(x) = -2 \cos x \sin x + \frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{x^2} \]
или, используя тригонометрическую формулу:
\[ -2 \cos x \sin x = - \sin 2x \]
Итечный ответ:
\[ \boxed{ f'(x) = - \sin 2x + \frac{1}{2} e^{x/2} - \frac{1}{x^2} } \]
Если нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!
Обсуждение
4 сообщенияf'(x)=(log(5x+2)-3/(3/x^5+2x^4)3)'
Для нахождения производной функции
\[ f'(x) = \left( \log(5x+2) - \frac{3}{\frac{3}{x^5}+2x^4} \right)' \]
давайте разберемся по частям.
Шаг 1. Производная логарифма
Для первой части:
\[ f_1(x) = \log(5x + 2) \]
При использовании производной логарифмической функции, мы получаем:
\[ f_1'(x) = \frac{1}{5x + 2} \cdot \frac{d}{dx}(5x + 2) = \frac{5}{5x + 2} \]
Шаг 2. Производная дроби
Теперь разберем вторую часть:
\[ f_2(x) = \frac{3}{\frac{3}{x^5} + 2x^4} \]
Для нахождения производной дробной функции, воспользуемся правилом производной дроби:
\[ \left( \frac{a}{b} \right)' = \frac{a'b - ab'}{b^2} \]
где \( a = 3 \) и \( b = \frac{3}{x^5} + 2x^4 \).
- Производная \( a' = 0 \) (так как 3 — константа).
- Теперь найдем производную \( b \):
\[ b = \frac{3}{x^5} + 2x^4 \]
Для \( b \):
\[ b' = -\frac{15}{x^6} + 8x^3 \]
Теперь подставим в формулу для производной дробной функции:
\[ f_2'(x) = \frac{0 \cdot b - 3 \left(-\frac{15}{x^6} + 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2} \]
Это упрощается до:
\[ f_2'(x) = \frac{3\left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2} \]
Шаг 3. Объединение производных
Теперь объединим производные обеих частей:
\[ f'(x) = f_1'(x) - f_2'(x) \]
Получаем:
\[ f'(x) = \frac{5}{5x + 2} - \frac{3\left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2} \]
Итоговый ответ:
Таким образом, финальная производная:
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{5}{5x + 2} - \frac{3\left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2} } \]
Если нужны дополнительные пояснения или помощь с дальнейшими шагами, дайте знать!
f'(x)=(log(5x+2)-3/(3/x^5+2x^4)^3)'
Давайте найдем производную функции:
\[ f'(x) = \left( \log(5x+2) - \frac{3}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^3} \right)' \]
Шаг 1. Находим производную логарифмической функции
Для первой части:
\[ f_1(x) = \log(5x + 2) \]
При использовании производной логарифма, получаем:
\[ f_1'(x) = \frac{1}{5x + 2} \cdot \frac{d}{dx}(5x + 2) = \frac{5}{5x + 2} \]
Шаг 2. Находим производную дробной функции
Теперь рассмотрим вторую часть:
\[ f_2(x) = \frac{3}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^3} \]
В этой ситуации воспользуемся правилом производной дробной функции и цепным правилом.
Для применения производной дробной функции, сначала представим её в общем виде.
- \( a = 3 \) (константа)
- \( b = \left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^3 \)
По правилу производной дробной функции (где \( b' \) будет находиться через производную сложной функции):
\[ \left( \frac{a}{b} \right)' = \frac{a'b - ab'}{b^2} \]
Здесь \( a' = 0 \). Таким образом, производная представит простую форму:
\[ f_2'(x) = -\frac{3 \cdot b'}{b^2} \]
Теперь найдем \( b' \):
\[ b = \left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^3 \]
Используя правило производной сложной функции:
\[ b' = 3 \left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2 \cdot \left(-\frac{15}{x^6} + 8x^3\right) \]
Подстановка в производную дроби
Теперь мы можем подставить \( b' \) в формулу для \( f_2' \):
\[ f_2'(x) = -\frac{3 \cdot 3 \left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2 \left(-\frac{15}{x^6} + 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^6} \]
Это упростится до:
\[ f_2'(x) = \frac{9 \left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^2 \left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^6} = \frac{9 \left(15 - 8x^9 \cdot 2\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^4} \]
Шаг 3. Соберём всё вместе
Теперь мы можем объединить производные:
\[ f'(x) = f_1'(x) - f_2'(x) \]
Итак:
\[ f'(x) = \frac{5}{5x + 2} - \frac{9 \left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^4} \]
Итоговый ответ
Итак, производная функции:
\[ \boxed{ f'(x) = \frac{5}{5x + 2} - \frac{9 \left(\frac{15}{x^6} - 8x^3\right)}{\left(\frac{3}{x^5} + 2x^4\right)^4} } \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными шагами, дайте знать!
