f(x) = 4x2 - 5x3 + 9x.
Конечно! Вот подробное решение и объяснение функции \( f(x) = 4x^2 - 5x^3 + 9x \), ориентируясь на понятия средней школы для лучшего понимания.
Шаг 1: Записать функцию
\[ f(x) = 4x^2 - 5x^3 + 9x \]
Это полиномиальная функция третьей степени (кубическая, потому что есть член с \( x^3 \)).
Шаг 2: Анализируем функцию
Нам нужно понять, что она из себя представляет. Обычно при таких задачах ищут:
- Значения функции (например, максимумы или минимумы)
- Точки экстремума
- Поведение функции при больших \( x \) (границы)
Для начала можно найти производную — это поможет найти точки локальных максимумов и минимумов, где функция возрастает или убывает.
Шаг 3: Найти производную функции \( f'(x) \)
Правила дифференцирования:
- Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \)
Применим к каждому члену:
- Производная \( 4x^2 \) — \( 8x \)
- Производная \( -5x^3 \) — \( -15x^2 \)
- Производная \( 9x \) — \( 9 \)
Следовательно, \[ f'(x) = 8x - 15x^2 + 9 \]
Шаг 4: Найти критические точки (где \( f'(x) = 0 \))
Решим уравнение: \[ 8x - 15x^2 + 9 = 0 \]
Переформируем его: \[ -15x^2 + 8x + 9 = 0 \]
Чтобы было удобнее, домножим обе части на \(-1\): \[ 15x^2 - 8x - 9 = 0 \]
Теперь решаем квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=15 \), \( b=-8 \), \( c=-9 \).
Подставляем: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-9)}}{2 \cdot 15} \]
Вычисляем дискриминант: \[ (-8)^2 = 64 \] \[ 4 \cdot 15 \cdot (-9) = -540 \] \[ \Rightarrow \text{Дискриминант} = 64 - (-540) = 64 + 540 = 604 \]
Извлекаем корень: \[ \sqrt{604} \approx 24.58 \]
Теперь находим корни:
Первый корень: \[ x = \frac{8 + 24.58}{30} = \frac{32.58}{30} \approx 1.086 \]
Второй корень: \[ x = \frac{8 - 24.58}{30} = \frac{-16.58}{30} \approx -0.553 \]
Шаг 5: Интерпретация критических точек
Наши критические точки: \[ x \approx 1.086 \quad \text{и} \quad x \approx -0.553 \]
Далее необходимо определить, являются ли они максимумами или минимумами, исследуя знак второй производной или изменения знака первой.
Шаг 6: Найти вторую производную \( f''(x) \)
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(8x - 15x^2 + 9) = 8 - 30x \]
Подставим критические точки:
Для \( x \approx 1.086 \): \[ f''(1.086) = 8 - 30 \times 1.086 \approx 8 - 32.58 \approx -24.58 \] Поскольку вторая производная отрицательна, это точка — максимум.
Для \( x \approx -0.553 \): \[ f''(-0.553) = 8 - 30 \times (-0.553) = 8 + 16.59 \approx 24.59 \] Поскольку вторая производная положительна, это точка — минимум.
Итог:
- При \( x \approx 1.086 \) — локальный максимум.
- При \( x \approx -0.553 \) — локальный минимум.
Дополнительно:
Если нужно было найти значения функции в этих точках, подставьте \( x \) обратно в исходную функцию \( f(x) \).
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее о чем-то — спрашивайте!
