F(x) = 4x2 - 5x3 + 9x.

Конечно! Вот подробное решение и объяснение функции \( f(x) = 4x^2 - 5x^3 + 9x \), ориентируясь на понятия средней школы для лучшего понимания. --- ### Шаг 1: Записать функцию \[ f(x) = 4x^2 - 5x^3 + 9x \] Это полиномиальная функция третьей степени (кубическая, потому что есть член с \( x^3 \)). --- ### Шаг 2: Анализируем функцию Нам нужно понять, что она из себя представляет. Обычно при таких задачах ищут: - Значения функции (например, максимумы или минимумы) - Точки экстремума - Поведение функции при больших \( x \) (границы) Для начала можно найти производную — это поможет найти точки локальных максимумов и минимумов, где функция возрастает или убывает. --- ### Шаг 3: Найти производную функции \( f'(x) \) Правила дифференцирования: - Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \) Применим к каждому члену: - Производная \( 4x^2 \) — \( 8x \) - Производная \( -5x^3 \) — \( -15x^2 \) - Производная \( 9x \) — \( 9 \) Следовательно, \[ f'(x) = 8x - 15x^2 + 9 \] --- ### Шаг 4: Найти критические точки (где \( f'(x) = 0 \)) Решим уравнение: \[ 8x - 15x^2 + 9 = 0 \] Переформируем его: \[ -15x^2 + 8x + 9 = 0 \] Чтобы было удобнее, домножим обе части на \(-1\): \[ 15x^2 - 8x - 9 = 0 \] Теперь решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=15 \), \( b=-8 \), \( c=-9 \). Подставляем: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-9)}}{2 \cdot 15} \] Вычисляем дискриминант: \[ (-8)^2 = 64 \] \[ 4 \cdot 15 \cdot (-9) = -540 \] \[ \Rightarrow \text{Дискриминант} = 64 - (-540) = 64 + 540 = 604 \] Извлекаем корень: \[ \sqrt{604} \approx 24.58 \] Теперь находим корни: 1. Первый корень: \[ x = \frac{8 + 24.58}{30} = \frac{32.58}{30} \approx 1.086 \] 2. Второй корень: \[ x = \frac{8 - 24.58}{30} = \frac{-16.58}{30} \approx -0.553 \] --- ### Шаг 5: Интерпретация критических точек Наши критические точки: \[ x \approx 1.086 \quad \text{и} \quad x \approx -0.553 \] Далее необходимо определить, являются ли они максимумами или минимумами, исследуя знак второй производной или изменения знака первой. --- ### Шаг 6: Найти вторую производную \( f''(x) \) \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(8x - 15x^2 + 9) = 8 - 30x \] Подставим критические точки: 1. Для \( x \approx 1.086 \): \[ f''(1.086) = 8 - 30 \times 1.086 \approx 8 - 32.58 \approx -24.58 \] Поскольку вторая производная отрицательна, это точка — максимум. 2. Для \( x \approx -0.553 \): \[ f''(-0.553) = 8 - 30 \times (-0.553) = 8 + 16.59 \approx 24.59 \] Поскольку вторая производная положительна, это точка — минимум. --- ### Итог: - **При \( x \approx 1.086 \)** — локальный максимум. - **При \( x \approx -0.553 \)** — локальный минимум. --- ### **Дополнительно:** Если нужно было найти значения функции в этих точках, подставьте \( x \) обратно в исходную функцию \( f(x) \). --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее о чем-то — спрашивайте!