Случайная величина задана плотностью: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ A(x^2 + 2x), & 0 < x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} \] Найти \( A, F(x), P(0 < X < \frac{1}{2})…

Задача связана с теорией вероятностей и случайными величинами, определенными с помощью функции плотности. Рассмотрим её поэтапно.

Дано:

\[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ A(x^2 + 2x), & 0 < x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} \]

Нам нужно найти:

1. константу \(A\),
2. функцию распределения \(F(x)\),
3. вероятность \(P(0 < X < \frac{1}{2})\),
4. построить график функции плотности.

---

1. Нахождение \(A\)

Функция плотности должна интегрироваться по всей области определения в 1:

\[ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 \]

Значения вне интервала \( (0,1] \) равны 0, следовательно,

\[ \int_0^1 A(x^2 + 2x) dx = 1 \]

Вынесем \(A\):

\[ A \int_0^1 (x^2 + 2x) dx = 1 \]

Вычислим интеграл:

\[ \int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \]

\[ \int_0^1 2x dx = 2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1 \]

Значит,

\[ A \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 1 \implies A \times \frac{4}{3} = 1 \]

Отсюда:

\[ A = \frac{3}{4} \]

---

2. Функция распределения \(F(x)\)

Функция распределения — это вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение, не превышающее \(x\):

\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt \]

Рассмотрим случаи:

• Для \(x \leq 0\):

\[ F(x) = 0 \]

• Для \(0 < x \leq 1\):

\[ F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x \frac{3}{4}(t^2 + 2t) dt \]

Вычислим интеграл:

\[ \int (t^2 + 2t) dt = \frac{t^3}{3} + t^2 \]

Тогда:

\[ F(x) = \frac{3}{4} \left[ \frac{t^3}{3} + t^2 \right]_0^{x} = \frac{3}{4} \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) \]

Упростим:

\[ F(x) = \frac{3}{4} \times \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) = \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2 \]

• Для \(x > 1\):

Так как функция плотности интегрирована на 1, то:

\[ F(x) = 1 \]

Итак, итоговая формула:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2, & 0 < x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \]

---

3. Вероятность \(P(0 < X < \frac{1}{2})\)

Это разница между значениями функции распределения в точках \(\frac{1}{2}\) и 0:

\[ P(0 < X < \frac{1}{2}) = F\left(\frac{1}{2}\right) - F(0) \]

уже известно, что \(F(0) = 0\).

Посчитаем \(F(1/2)\):

\[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Вычислим:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Подставим:

\[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32} + \frac{3}{16} \]

Объединим в общий знаменатель 32:

\[ \frac{1}{32} + \frac{6}{32} = \frac{7}{32} \]

Значит:

\[ \boxed{ P(0 < X < \frac{1}{2}) = \frac{7}{32} } \]

---

4. Построение графика

График функции \(f(x)\):

• \(f(x) = 0\) для \(x \leq 0\) и \(x > 1\)
• В интервале \( (0,1] \):

\[ f(x) = \frac{3}{4}(x^2 + 2x) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2} x \]

Можно построить по точкам:

• в точке \(x=0\): \(f(0) = 0\),
• в точке \(x=1\): \(f(1) = \frac{3}{4} (1 + 2) = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4} = 2.25\).

---

Итоги:

\[ \boxed{ A = \frac{3}{4} } \]

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2, & 0 < x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \]

\[ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{32} \]

---

Если нужно, я могу помочь с построением графика.