Случайная величина задана плотностью: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ A(x^2 + 2x), & 0 < x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} \] Найти \( A, F(x), P(0 < X < \frac{1}{2}) \). Построить график \( f(x) \).

Задача связана с теорией вероятностей и случайными величинами, определенными с помощью функции плотности. Рассмотрим её поэтапно. **Дано:** \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ A(x^2 + 2x), & 0 < x \leq 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} \] Нам нужно найти: 1. константу \(A\), 2. функцию распределения \(F(x)\), 3. вероятность \(P(0 < X < \frac{1}{2})\), 4. построить график функции плотности. --- ## 1. Нахождение \(A\) Функция плотности должна интегрироваться по всей области определения в 1: \[ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1 \] Значения вне интервала \( (0,1] \) равны 0, следовательно, \[ \int_0^1 A(x^2 + 2x) dx = 1 \] Вынесем \(A\): \[ A \int_0^1 (x^2 + 2x) dx = 1 \] Вычислим интеграл: \[ \int_0^1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \] \[ \int_0^1 2x dx = 2 \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1 \] Значит, \[ A \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 1 \implies A \times \frac{4}{3} = 1 \] Отсюда: \[ A = \frac{3}{4} \] --- ## 2. Функция распределения \(F(x)\) Функция распределения — это вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение, не превышающее \(x\): \[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt \] Рассмотрим случаи: - **Для \(x \leq 0\):** \[ F(x) = 0 \] - **Для \(0 < x \leq 1\):** \[ F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x \frac{3}{4}(t^2 + 2t) dt \] Вычислим интеграл: \[ \int (t^2 + 2t) dt = \frac{t^3}{3} + t^2 \] Тогда: \[ F(x) = \frac{3}{4} \left[ \frac{t^3}{3} + t^2 \right]_0^{x} = \frac{3}{4} \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) \] Упростим: \[ F(x) = \frac{3}{4} \times \left( \frac{x^3}{3} + x^2 \right) = \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2 \] - **Для \(x > 1\):** Так как функция плотности интегрирована на 1, то: \[ F(x) = 1 \] Итак, итоговая формула: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2, & 0 < x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \] --- ## 3. Вероятность \(P(0 < X < \frac{1}{2})\) Это разница между значениями функции распределения в точках \(\frac{1}{2}\) и 0: \[ P(0 < X < \frac{1}{2}) = F\left(\frac{1}{2}\right) - F(0) \] уже известно, что \(F(0) = 0\). Посчитаем \(F(1/2)\): \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] Вычислим: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Подставим: \[ F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32} + \frac{3}{16} \] Объединим в общий знаменатель 32: \[ \frac{1}{32} + \frac{6}{32} = \frac{7}{32} \] Значит: \[ \boxed{ P(0 < X < \frac{1}{2}) = \frac{7}{32} } \] --- ## 4. Построение графика График функции \(f(x)\): - \(f(x) = 0\) для \(x \leq 0\) и \(x > 1\) - В интервале \( (0,1] \): \[ f(x) = \frac{3}{4}(x^2 + 2x) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2} x \] Можно построить по точкам: - в точке \(x=0\): \(f(0) = 0\), - в точке \(x=1\): \(f(1) = \frac{3}{4} (1 + 2) = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4} = 2.25\). --- ## Итоги: \[ \boxed{ A = \frac{3}{4} } \] \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{4} x^3 + \frac{3}{4} x^2, & 0 < x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} \] \[ P\left(0 < X < \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{32} \] --- Если нужно, я могу помочь с построением графика.