В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое,…

Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы найти ответы на оба вопроса.

Дано:

• Общее число учеников \( N = 38 \)
• Баскетбол (Б): 16
• Хоккей (Х): 17
• Футбол (Ф): 18
• Увлекаются двумя видами:
  • Б и Х: 4
  • Б и Ф: 3
  • Х и Ф: 5
• Не увлекаются ни одним спортом: 3

Обозначим:

• \( x \) — число ребят, увлекающихся всеми тремя видами спорта (Б∩Х∩Ф).
• \( a \) — число ребят, увлекающихся только баскетболом.
• \( b \) — только хоккеем.
• \( c \) — только футболом.
• \( d \) — увлекающихся баскетболом и хоккеем, но не футболом.
• \( e \) — увлекающихся баскетболом и футболом, но не хоккеем.
• \( f \) — увлекающихся хоккеем и футболом, но не баскетболом.

Значит, имеем: \[ \begin{cases} a \quad \text{— только Б} \\ b \quad \text{— только Х} \\ c \quad \text{— только Ф} \\ d \quad \text{— Б и Х, без Ф} \\ e \quad \text{— Б и Ф, без Х} \\ f \quad \text{— Х и Ф, без Б} \\ x \quad \text{— все три} \\ \text{Не увлекаются ни спортом} = 3 \end{cases} \]

Общие формулы:

• Общие по видам спорту: \[ \begin{cases} 16 = a + d + e + x \\ 17 = b + d + f + x \\ 18 = c + e + f + x \end{cases} \]

• По условиям: \[ \begin{cases} d = 4 \\ e = 3 \\ f = 5 \end{cases} \]

• Общее число учеников: \[ a + b + c + d + e + f + x + 3 = 38 \]

Подставляем известные значения \( d, e, f \): \[ a + b + c + 4 + 3 + 5 + x + 3 = 38 \] \[ a + b + c + x + (4 + 3 + 5 + 3) = 38 \] \[ a + b + c + x + 15 = 38 \] \[ a + b + c + x = 23 \]

Теперь решим систему уравнений: \[ \begin{cases} a + d + e + x = 16 \Rightarrow a + 4 + 3 + x = 16 \Rightarrow a + x = 16 - 7 = 9 \\ b + d + f + x = 17 \Rightarrow b + 4 + 5 + x = 17 \Rightarrow b + x = 17 - 9 = 8 \\ c + e + f + x = 18 \Rightarrow c + 3 + 5 + x = 18 \Rightarrow c + x = 18 - 8 = 10 \\ a + b + c + x = 23 \end{cases} \]

Из первых трёх уравнений выразим \( a, b, c \): \[ a = 9 - x \\ b = 8 - x \\ c = 10 - x \]

Подставляем в последнее уравнение: \[ (9 - x) + (8 - x) + (10 - x) + x = 23 \] \[ (9 + 8 + 10) - x - x - x + x = 23 \] \[ 27 - 2x = 23 \] \[ -2x = -4 \] \[ x = 2 \]

Теперь найдём все остальные: \[ a = 9 - 2 = 7 \\ b = 8 - 2 = 6 \\ c = 10 - 2 = 8 \]

Ответы:

1. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
   \(\boxed{2}\)

2. Сколько ребят увлекаются только одним видом спорта?
   Только баскетбол: \(a = 7\)
   Только хоккей: \(b = 6\)
   Только футбол: \(c = 8\)

   Итог: \[ 7 + 6 + 8 = \boxed{21} \]

Итог:

• Ребят, увлекающихся всеми тремя видами спорта: 2
• Ребят, увлекающихся только одним видом спорта: 21