Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы найти ответы на оба вопроса.
Дано:
- Общее число учеников ( N = 38 )
- Баскетбол (Б): 16
- Хоккей (Х): 17
- Футбол (Ф): 18
- Увлекаются двумя видами:
- Б и Х: 4
- Б и Ф: 3
- Х и Ф: 5
- Не увлекаются ни одним спортом: 3
Обозначим:
- ( x ) — число ребят, увлекающихся всеми тремя видами спорта (Б∩Х∩Ф).
- ( a ) — число ребят, увлекающихся только баскетболом.
- ( b ) — только хоккеем.
- ( c ) — только футболом.
- ( d ) — увлекающихся баскетболом и хоккеем, но не футболом.
- ( e ) — увлекающихся баскетболом и футболом, но не хоккеем.
- ( f ) — увлекающихся хоккеем и футболом, но не баскетболом.
Значит, имеем:
[
\begin{cases}
a \quad \text{— только Б} \
b \quad \text{— только Х} \
c \quad \text{— только Ф} \
d \quad \text{— Б и Х, без Ф} \
e \quad \text{— Б и Ф, без Х} \
f \quad \text{— Х и Ф, без Б} \
x \quad \text{— все три} \
\text{Не увлекаются ни спортом} = 3
\end{cases}
]
Общие формулы:
Общие по видам спорту:
[
\begin{cases}
16 = a + d + e + x \
17 = b + d + f + x \
18 = c + e + f + x
\end{cases}
]
По условиям:
[
\begin{cases}
d = 4 \
e = 3 \
f = 5
\end{cases}
]
Общее число учеников:
[
a + b + c + d + e + f + x + 3 = 38
]
Подставляем известные значения ( d, e, f ):
[
a + b + c + 4 + 3 + 5 + x + 3 = 38
]
[
a + b + c + x + (4 + 3 + 5 + 3) = 38
]
[
a + b + c + x + 15 = 38
]
[
a + b + c + x = 23
]
Теперь решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
a + d + e + x = 16 \Rightarrow a + 4 + 3 + x = 16 \Rightarrow a + x = 16 - 7 = 9 \
b + d + f + x = 17 \Rightarrow b + 4 + 5 + x = 17 \Rightarrow b + x = 17 - 9 = 8 \
c + e + f + x = 18 \Rightarrow c + 3 + 5 + x = 18 \Rightarrow c + x = 18 - 8 = 10 \
a + b + c + x = 23
\end{cases}
]
Из первых трёх уравнений выразим ( a, b, c ):
[
a = 9 - x \
b = 8 - x \
c = 10 - x
]
Подставляем в последнее уравнение:
[
(9 - x) + (8 - x) + (10 - x) + x = 23
]
[
(9 + 8 + 10) - x - x - x + x = 23
]
[
27 - 2x = 23
]
[
-2x = -4
]
[
x = 2
]
Теперь найдём все остальные:
[
a = 9 - 2 = 7 \
b = 8 - 2 = 6 \
c = 10 - 2 = 8
]
Ответы:
Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
(\boxed{2})
Сколько ребят увлекаются только одним видом спорта?
Только баскетбол: (a = 7)
Только хоккей: (b = 6)
Только футбол: (c = 8)
Итог:
[
7 + 6 + 8 = \boxed{21}
]
Итог:
- Ребят, увлекающихся всеми тремя видами спорта: 2
- Ребят, увлекающихся только одним видом спорта: 21
