Задача: Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро пирамиды 3 см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.
Давайте подробно решим эту задачу.
Дана информация:
- Сторона основания (квадрата): \( a = 4\, \text{см} \)
- Боковое ребро (ребро от вершины к одной из вершин основания): \( l = 3\, \text{см} \)
Требуется найти:
- Высоту пирамиды \( h \)
- Площадь боковой поверхности \( S_b \)
1. Нахождение высоты пирамиды \( h \)
Шаг 1: Определение элементов
В правильной пирамиде основание — квадрат, все боковые ребра равны \( l = 3 \text{ см} \).
Высота \( h \) — перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания.
Шаг 2: Связь бокового ребра и высоты
Боковое ребро \( l \) образует треугольник с высотой \( h \) и полуотрезком стороны основания.
Обозначим:
- \( S \) — вершина пирамиды
- \( O \) — центр основания (точка пересечения диад) квадрата.
Квадрат со стороной \( a = 4 \text{ см} \).
Полуотрезок стороны основания: \( \frac{a}{2} = 2 \text{ см} \).
Шаг 3: Используем прямоугольный треугольник
Ребро \( l \) соединяет вершину \( S \) с вершиной квадрата на грани, а проекция \( S \) на основание — точка \( O \), центр квадрата.
Расстояние от центра квадрата до любой вершины основания:
\[
AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см}
\]
Но для нахождения высоты проще рассмотреть треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком от вершины \( S \) до центра основания, и боковым ребром.
2. Нахождение апофакса (наклонного ракурса)
Шаг 4: Расчёт высоты \( h \)
Обозначим:
- \( s \) — длина апофакса (высоты боковой гранной треугольника).
Из треугольника, образованного боковым ребром \( l \), высотой \( h \), и половиной диагонали основания.
Квадрат основания:
\[
\text{диагональ} = a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \text{ см}
\]
Полуотрезок диагонали:
\[
\frac{a \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см}
\]
Это — расстояние от центра основания до вершины квадрата (по диагонали).
Шаг 5: Используем теорему Пифагора
В треугольнике, где:
- \( l \) — гипотенуза (боковое ребро),
- \( h \) — высота,
- \( s \) — апофакс (наклонная сторона бокового треугольника),
рассмотрим прямой треугольник, образованный \( l \), \( h \), и расстоянием от центра основания до вершины грани.
Формула:
\[
l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2
\]
Так как \( \frac{a}{\sqrt{2}} = 2 \), то:
\[ 3^2 = h^2 + 2^2 \]
\[ 9 = h^2 + 4 \]
Следовательно:
\[ h^2 = 9 - 4 = 5 \]
и
\[ h = \sqrt{5} \text{ см} \]
3. Площадь боковой поверхности \( S_b \)
Шаг 6: Нахождение площади одной боковой грани
Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \( a = 4\, \text{см} \) и высотой, которую мы сейчас найдём.
Высота боковой грани (апофакса)
- равна длине наклонной высоты, которую можно найти, воспользовавшись уже найденными данными.
Обозначим:
- \( s_b \) — длина боковой грани (высоты бокового треугольника).
Это треугольник с основанием \( a = 4\, \text{см} \) и высотой \( s_b \), которая равна:
используем теорему Пифагора для бокового треугольника:
Высота боковой грани:
\[
s_b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3\, \text{см}
\]
Шаг 7: Площадь одной боковой грани
Площадь треугольника:
\[
S_{бонава} = \frac{1}{2} \times a \times s_b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\, \text{см}^2
\]
Шаг 8: Общая площадь боковой поверхности
Поскольку у пирамиды 4 одинаковые боковые грани:
\[
S_b = 4 \times 6 = 24\, \text{см}^2
\]
Итоговые ответы:
1) Высота пирамиды:
\[ \boxed{h = \sqrt{5} \text{ см} \approx 2{,}24 \text{ см}} \]
2) Площадь боковой поверхности:
\[ \boxed{S_b = 24\, \text{см}^2} \]
Если нужны ещё пояснения или расчёты, могу помочь!
