Задача: Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро пирамиды 3 см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Давайте подробно решим эту задачу. Дана информация: - Сторона основания (квадрата): \( a = 4\, \text{см} \) - Боковое ребро (ребро от вершины к одной из вершин основания): \( l = 3\, \text{см} \) Требуется найти: 1) Высоту пирамиды \( h \) 2) Площадь боковой поверхности \( S_b \) --- ### 1. Нахождение высоты пирамиды \( h \) **Шаг 1: Определение элементов** В правильной пирамиде основание — квадрат, все боковые ребра равны \( l = 3 \text{ см} \). Высота \( h \) — перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. **Шаг 2: Связь бокового ребра и высоты** Боковое ребро \( l \) образует треугольник с высотой \( h \) и полуотрезком стороны основания. Обозначим: - \( S \) — вершина пирамиды - \( O \) — центр основания (точка пересечения диад) квадрата. Квадрат со стороной \( a = 4 \text{ см} \). Полуотрезок стороны основания: \( \frac{a}{2} = 2 \text{ см} \). **Шаг 3: Используем прямоугольный треугольник** Ребро \( l \) соединяет вершину \( S \) с вершиной квадрата на грани, а проекция \( S \) на основание — точка \( O \), центр квадрата. Расстояние от центра квадрата до любой вершины основания: \[ AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см} \] Но для нахождения высоты проще рассмотреть треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком от вершины \( S \) до центра основания, и боковым ребром. --- ### 2. Нахождение апофакса (наклонного ракурса) **Шаг 4: Расчёт высоты \( h \)** Обозначим: - \( s \) — длина апофакса (высоты боковой гранной треугольника). Из треугольника, образованного боковым ребром \( l \), высотой \( h \), и половиной диагонали основания. Квадрат основания: \[ \text{диагональ} = a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \text{ см} \] Полуотрезок диагонали: \[ \frac{a \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см} \] Это — расстояние от центра основания до вершины квадрата (по диагонали). **Шаг 5: Используем теорему Пифагора** В треугольнике, где: - \( l \) — гипотенуза (боковое ребро), - \( h \) — высота, - \( s \) — апофакс (наклонная сторона бокового треугольника), рассмотрим прямой треугольник, образованный \( l \), \( h \), и расстоянием от центра основания до вершины грани. Формула: \[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 \] Так как \( \frac{a}{\sqrt{2}} = 2 \), то: \[ 3^2 = h^2 + 2^2 \] \[ 9 = h^2 + 4 \] Следовательно: \[ h^2 = 9 - 4 = 5 \] и \[ h = \sqrt{5} \text{ см} \] --- ### 3. Площадь боковой поверхности \( S_b \) **Шаг 6: Нахождение площади одной боковой грани** Боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием \( a = 4\, \text{см} \) и высотой, которую мы сейчас найдём. Высота боковой грани (апофакса) - равна длине наклонной высоты, которую можно найти, воспользовавшись уже найденными данными. Обозначим: - \( s_b \) — длина боковой грани (высоты бокового треугольника). Это треугольник с основанием \( a = 4\, \text{см} \) и высотой \( s_b \), которая равна: используем теорему Пифагора для бокового треугольника: Высота боковой грани: \[ s_b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3\, \text{см} \] **Шаг 7: Площадь одной боковой грани** Площадь треугольника: \[ S_{бонава} = \frac{1}{2} \times a \times s_b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\, \text{см}^2 \] **Шаг 8: Общая площадь боковой поверхности** Поскольку у пирамиды 4 одинаковые боковые грани: \[ S_b = 4 \times 6 = 24\, \text{см}^2 \] --- ## Итоговые ответы: ### 1) Высота пирамиды: \[ \boxed{h = \sqrt{5} \text{ см} \approx 2{,}24 \text{ см}} \] ### 2) Площадь боковой поверхности: \[ \boxed{S_b = 24\, \text{см}^2} \] Если нужны ещё пояснения или расчёты, могу помочь!