Решите задачу по предложенным исходным данным об обеспеченности населения города общей жилой площадью: Размер общей жилой площади на одного члены семьи, кв.м.: до 10, 10-20,…
Решите задачу по предложенным исходным данным об обеспеченности населения города общей жилой площадью: Размер общей жилой площади на одного члены семьи, кв.м.: до 10, 10-20, 12-14, 14-16, 16-18, 18-20, свыше 20; число семей,%: 32, 24, 25, 9, 4, 3 , 3. Вычеслите показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Решение и вывод по задаче представьте в полном объёме.
Давайте подробно решим задачу по математике, касающуюся статистических показателей по обеспеченности населения города жилой площадью. Для этого у нас есть группировка данных по диапазонам площади и процентам семей, проживающих в каждом диапазоне.
Данные задачи:
| Диапазон площади (кв.м.) | Процент семей (%) |
|---|---|
| до 10 | 32 |
| 10-20 | 24 |
| 12-14 | 25 |
| 14-16 | 9 |
| 16-18 | 4 |
| 18-20 | 3 |
| свыше 20 | 3 |
Обратите внимание, что данные разделы пересекаются, например, диапазон 10-20 и 12-14. Обычно в статистике для вычислений используют однозначно определённые интервалы, поэтому будет правильнее рассматривать эти диапазоны как однородные интервалы, и при этом сгруппировать их корректно.
Однако, скорее всего, в данном случае (пересекающиеся диапазоны) используется именно таблица с так называемыми группами, для которых необходимо найти показатели. Для более точных расчетов я буду предполагать, что нужно использовать следующие группировки:
- до 10 (значение — 5, так как точка — середина диапазона или его край)
- 10-12 (значение — 11)
- 12-14 (значение — 13)
- 14-16 (значение — 15)
- 16-18 (значение — 17)
- 18-20 (значение — 19)
- свыше 20 (значение — например, 21)
Общие шаги решения:
- Определение и группировка данных — получение средних значений для каждой группы.
- Вычисление среднего арифметического (μ) — по формуле взвешенного среднего.
- Размах вариации (R) — разница между максимальным и минимальным значением группы.
- Среднее линейное отклонение (AL) — среднее абсолютное отклонение от среднего.
- Дисперсия (D) — среднее квадратичное отклонение (вариация).
- Среднее квадратическое отклонение (σ) — квадратный корень дисперсии.
- Коэффициент вариации (CV) — отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в %.
Шаг 1. Определение точечных значений групп
| Группа | Интервал | Значение (ассоциированное) |
|---|---|---|
| до 10 | 0-10 | 5 |
| 10-12 | 10-12 | 11 |
| 12-14 | 12-14 | 13 |
| 14-16 | 14-16 | 15 |
| 16-18 | 16-18 | 17 |
| 18-20 | 18-20 | 19 |
| свыше 20 | >20 | 21 |
Шаг 2. Расчёт средневзвешенного значения
Общий процент равен 100%.
Чтобы найти среднее:
\[ \mu = \frac{\sum (x_i \times p_i)}{100} \]
где \(x_i\) — значение группы, \(p_i\) — процент семей.
Подставим значения:
\[ \mu = \frac{(5 \times 32) + (11 \times 24) + (13 \times 25) + (15 \times 9) + (17 \times 4) + (19 \times 3) + (21 \times 3)}{100} \]
Вычислим числитель:
- \(5 \times 32 = 160\)
- \(11 \times 24 = 264\)
- \(13 \times 25 = 325\)
- \(15 \times 9 = 135\)
- \(17 \times 4 = 68\)
- \(19 \times 3 = 57\)
- \(21 \times 3 = 63\)
Общий итог:
\[ 160 + 264 + 325 + 135 + 68 + 57 + 63 = 1072 \]
Следовательно,
\[ \mu = \frac{1072}{100} = 10.72\, \text{м}^2 \]
Ответ: Среднее значение площади — 10.72 кв.м.
Шаг 3. Размах вариации (R)
Размах — разница между максимальным и минимальным значением:
\[ R = x_{max} - x_{min} = 21 - 5 = 16\, \text{м}^2 \]
Шаг 4. Среднее линейное отклонение (AL)
Это среднее абсолютное отклонение от среднего:
\[ AL = \frac{\sum p_i \times |x_i - \mu|}{100} \]
Посчитаем для каждого значения:
| \(x_i\) | \(|x_i - 10.72|\) | \(p_i\) | \(p_i \times |x_i - 10.72|\) |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 - 10.72 = 5.72 | 32 | \(32 \times 5.72 = 183.04\) |
| 11 | 11 - 10.72 = 0.28 | 24 | \(24 \times 0.28 = 6.72\) |
| 13 | 13 - 10.72 = 2.28 | 25 | \(25 \times 2.28 = 57\) |
| 15 | 15 - 10.72 = 4.28 | 9 | \(9 \times 4.28 = 38.52\) |
| 17 | 17 - 10.72 = 6.28 | 4 | \(4 \times 6.28 = 25.12\) |
| 19 | 19 - 10.72 = 8.28 | 3 | \(3 \times 8.28 = 24.84\) |
| 21 | 21 - 10.72 = 10.28 | 3 | \(3 \times 10.28= 30.84\) |
Теперь сумма:
\[ 183.04 + 6.72 + 57 + 38.52 + 25.12 + 24.84 + 30.84 = 366.08 \]
Среднее линейное отклонение:
\[ AL = \frac{366.08}{100} = 3.6608\, \text{м}^2 \]
Шаг 5. Дисперсия (D)
Дисперсия — это взвешенная сумма квадратичных отклонений:
\[ D = \frac{\sum p_i \times (x_i - \mu)^2}{100} \]
Посчитаем для каждого:
| \(x_i\) | \((x_i - 10.72)^2\) | \(p_i\) | \(p_i \times (x_i - 10.72)^2\) |
|---|---|---|---|
| 5 | \(5 - 10.72= -5.72\), \((-5.72)^2= 32.7184\) | 32 | \(32 \times 32.7184= 1045.4\) |
| 11 | 0.28, \((0.28)^2=0.0784\) | 24 | \(24 \times 0.0784=1.8816\) |
| 13 | 2.28, \(\approx 5.1984\) | 25 | \(25 \times 5.1984=129.96\) |
| 15 | 4.28, \(\approx 18.3\) | 9 | \(9 \times 18.3=164.7\) |
| 17 | 6.28, \(\approx 39.44\) | 4 | \(4 \times 39.44=157.76\) |
| 19 | 8.28, \(\approx 68.52\) | 3 | \(3 \times 68.52=205.56\) |
| 21 | 10.28, \(\approx 105.7\) | 3 | \(3 \times 105.7=317.1\) |
Сумма:
\[ 1045.4 + 1.8816 + 129.96 + 164.7 + 157.76 + 205.56 + 317.1 = 2022.36 \]
Дисперсия:
\[ D = \frac{2022.36}{100} = 20.2236\, \text{м}^2 \]
Шаг 6. Среднее квадратическое отклонение (σ)
\[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{20.2236} \approx 4.5\, \text{м}^2 \]
Шаг 7. Коэффициент вариации (CV)
\[ CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\% = \frac{4.5}{10.72} \times 100\% \approx 41.9\% \]
ИТОГИ:
- Размах вариации: 16 кв.м.
- Среднее значение площади: 10.72 кв.м.
- Среднее линейное отклонение: 3.66 кв.м.
- Дисперсия: 20.22 кв.м.^2
- Квадратическое отклонение: 4.5 кв.м.
- Коэффициент вариации: около 41.9%
Если понадобятся дополнительные пояснения или расчет более точных данных по конкретным группам, я буду рад помочь!
