Давайте подробно разберем задачу.
Задача: В выражении ((x + y)^{11}) раскрыли скобки и привели подобные. Нужно найти коэффициент при члене (x^3 y^8).
Шаг 1. Используем распределение по биному Ньютона
Раскладение ((x + y)^{11}) по биному Ньютона выглядит так:
[
(x + y)^{11} = \sum_{k=0}^{11} C_{11}^{k} \cdot x^{k} \cdot y^{11 - k}
]
где (C_{11}^{k}) — биномиальный коэффициент, и он показывает, сколько способов выбрать (k) элементов из 11.
Шаг 2. Определяем необходимый член
Нам нужно найти член с (x^3 y^8):
В общем виде члена: (C_{11}^{k} \cdot x^{k} \cdot y^{11 - k})
Для этого члена должно выполняться: (k = 3) (степень (x)), и степень (y) равна (8), что означает:
[
11 - k = 8 \Rightarrow k = 3
]
Это совпадает, значит, требуемый член — это:
[
C_{11}^{3} \cdot x^3 \cdot y^{8}
]
Шаг 3. Вычисляем биномиальный коэффициент (C_{11}^{3})
Формула биномиального коэффициента:
[
C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
Подставляем (n=11), (k=3):
[
C_{11}^{3} = \frac{11!}{3! \cdot (11-3)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!}
]
Рассчитаем шаг за шагом:
[
11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8!
]
Тогда:
[
C_{11}^{3} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{3! \times 8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1}
]
Поскольку (3! = 6), получаем:
[
C_{11}^{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{6}
]
Посчитаем числитель:
[
11 \times 10 = 110 \
110 \times 9 = 990
]
И делим:
[
\frac{990}{6} = 165
]
Ответ:
Коэффициент при (x^3 y^8) равен 165.
Если нужно ещё разъяснить или есть вопросы — обращайтесь!
