В выражении (x+y)11 раскрыли скобки и привели подобные. Чему равен коэффициент при x3y8 ?
Давайте подробно разберем задачу.
Задача: В выражении \((x + y)^{11}\) раскрыли скобки и привели подобные. Нужно найти коэффициент при члене \(x^3 y^8\).
Шаг 1. Используем распределение по биному Ньютона
Раскладение \((x + y)^{11}\) по биному Ньютона выглядит так:
\[ (x + y)^{11} = \sum_{k=0}^{11} C_{11}^{k} \cdot x^{k} \cdot y^{11 - k} \]
где \(C_{11}^{k}\) — биномиальный коэффициент, и он показывает, сколько способов выбрать \(k\) элементов из 11.
Шаг 2. Определяем необходимый член
Нам нужно найти член с \(x^3 y^8\):
В общем виде члена: \(C_{11}^{k} \cdot x^{k} \cdot y^{11 - k}\)
Для этого члена должно выполняться: \(k = 3\) (степень \(x\)), и степень \(y\) равна \(8\), что означает:
\[ 11 - k = 8 \Rightarrow k = 3 \]
Это совпадает, значит, требуемый член — это:
\[ C_{11}^{3} \cdot x^3 \cdot y^{8} \]
Шаг 3. Вычисляем биномиальный коэффициент \(C_{11}^{3}\)
Формула биномиального коэффициента:
\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
Подставляем \(n=11\), \(k=3\):
\[ C_{11}^{3} = \frac{11!}{3! \cdot (11-3)!} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \]
Рассчитаем шаг за шагом:
\[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8! \]
Тогда:
\[ C_{11}^{3} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{3! \times 8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} \]
Поскольку \(3! = 6\), получаем:
\[ C_{11}^{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{6} \]
Посчитаем числитель:
\[ 11 \times 10 = 110 \\ 110 \times 9 = 990 \]
И делим:
\[ \frac{990}{6} = 165 \]
Ответ:
Коэффициент при \(x^3 y^8\) равен 165.
Если нужно ещё разъяснить или есть вопросы — обращайтесь!
