Требуется для пластичного и хрупкого материала определить коэффициенты запаса прочности заданного элемента объема. Дано: σx=20 МПа; σy=−20 МПа; σz=90 МПа; τzy=70 МПа. Свойства материалов: а) σт=295 МПа (Сталь 30); б) σвр=350 МПа, σвс=1200 МПа (чугун ВЧ). а) Для пластичного материала коэффициент запаса по критерию пластичности Треска-Сен-Венана равен ... (ответ приведите с точностью до 3-х значащих цифр) Ответ:

Давайте решим задачу по частям, учитывая указания и параметры. --- ## 1. Исходные данные - Напряжения: - \(\sigma_x = 20\,\text{МПа}\) - \(\sigma_y = -20\,\text{МПа}\) - \(\sigma_z = 90\,\text{МПа}\) - \(\tau_{zy} = 70\,\text{МПа}\) - Свойства материалов: - а) Сталь 30: \(\sigma_t = 295\,\text{МПа}\) - б) Чугун ВЧ: \(\sigma_{вр} = 350\,\text{МПа}\), \(\sigma_{вс} = 1200\,\text{МПа}\) --- ## 2. Условие задачи Нам нужно определить коэффициенты запаса прочности по критерию пластичности Треска-Сен-Венана. В формулировке задачи есть важное понимание: - Для пластичного материала коэффициент запаса по универсальному критерию Треска-Сен-Венана выражается так: \[ K = \frac{\sigma_{т}}{\sigma_{кр}} \] где \(\sigma_{кр}\) — максимальное напряжение, вызывающее пластическую деформацию или неудовлетворяющее пределу прочности. Для условия «коэффициент запаса по критерию Треска-Сен-Венана», с учётом напряженного состояния, рассчитываем \(\sigma_{кр}\) по формуле: \[ \sigma_{кр} = \frac{\sigma_{т}}{K} \] или, наоборот, \(K = \frac{\sigma_{т}}{\sigma_{сложное}}\). --- ## 3. Нормативное напряжение по Треска-Сен-Венану Критерий Треска-Сен-Венана для напряженного состояния дается формулой, которая соединяет главные напряжения: \[ ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 = 2 \sigma_{в}^2 \] где \(\sigma_{1,2,3}\) — главные напряжения, а \(\sigma_{в}\) — предельное напряжение на пластичность. --- ## 4. Находим главные напряжения (главные сжатия и растяжения) Используем уравнение главных напряжений для 3D состояния: \[ \begin{cases} \text{трехслойное разложение:} \\ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y - \sigma_z}{2}\right)^2 + \text{учет τ} \end{cases} \] лучше использовать формулу для наглядности и конкретных чисел: Главные напряжения по формуле: \[ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{A} \] где \(A\) — дисперсия напряжений, с учетом τ. Но проще в данном случае воспользоваться собственными значениями вектора напряжений: Напряжения заданы в тензоре: \[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \] Вычислим собственные значения этого матриц: \[ \text{Eigenvalues} \Rightarrow \text{главные напряжения} \] Обозначим: \[ \begin{cases} \sigma_x' = 20\,\text{МПа} \\ \sigma_y' = -20\,\text{МПа} \\ \sigma_z' = 90\,\text{МПа} \end{cases} \] - В матрице есть ненулевые офф-диагональные компоненты τ_{zy} = 70 МПа, то есть: \[ \begin{bmatrix} -20 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 70 \\ 0 & 70 & 90 \end{bmatrix} \] Эти составляющие влияют на главные напряжения. --- ## 5. Расчет главных напряжений с учетом τ_{zy} Для блока с напряжениями: \[ \begin{cases} \sigma_{x} = 20\,\text{МПа} \\ \sigma_{y} = -20\,\text{МПа} \\ \sigma_{z} = 90\,\text{МПа} \\ τ_{zy} = 70\,\text{МПа} \end{cases} \] - Главные напряжения — это собственные значения тензора: \[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & -20 & 70 \\ 0 & 70 & 90 \end{bmatrix} \] Рассчитаем собственные значения этого матрица: Найдем характеристический многочлен: \[ \det \begin{bmatrix} 20 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -20 - \lambda & 70 \\ 0 & 70 & 90 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \] Легко понять, что для \(\lambda = 20\), характеристический многочлен равен: \[ (20 - 20) \times \text{(остальной)} = 0 \] — то есть \(\lambda_1 = 20\,\text{МПа}\). Для остальных двух собственных значений — в решается 2x2 матрица: \[ \det \begin{bmatrix} -20 - \lambda & 70 \\ 70 & 90 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \] Рассчитаем: \[ (-20 - \lambda)(90 - \lambda) - 70^2 = 0 \] Раскроем скобки: \[ (-20)(90) - 20 \times (-\lambda) + (-\lambda)(90) + \lambda^2 - 4900 = 0 \] \[ -1800 + 20 \lambda - 90 \lambda + \lambda^2 - 4900 = 0 \] \[ \lambda^2 - 70 \lambda - 6700 = 0 \] Решаем уравнение: \[ \lambda = \frac{70 \pm \sqrt{70^2 + 4 \times 6700}}{2} \] \[ \sqrt{4900 + 26800} = \sqrt{31700} \approx 177.84 \] Тогда: \[ \lambda_2 = \frac{70 + 177.84}{2} \approx 123.92\,\text{МПа} \] \[ \lambda_3 = \frac{70 - 177.84}{2} \approx -53.92\,\text{МПа} \] Итак, главные напряжения: \[ \sigma_{1} \approx 123.92\,\text{МПа} \] \[ \sigma_{2} = 20\,\text{МПа} \] \[ \sigma_{3} \approx -53.92\,\text{МПа} \] --- ## 6. Расчет критического напряжения \(\sigma_{кр}\) по Треска-Сен-Венана Используем формулу: \[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 = 2 \sigma_v^2 \] Подставляем величины: \[ (123.92 - 20)^2 + (20 - (-53.92))^2 + (-53.92 - 123.92)^2 = 2 \sigma_v^2 \] Рассчитаем каждое: \[ (103.92)^2 \approx 10800 \] \[ (73.92)^2 \approx 5470 \] \[ (-177.84)^2 \approx 31646 \] Суммарно: \[ 10800 + 5470 + 31646 \approx 47916 \] Тогда: \[ 2\sigma_v^2 = 47916 \Rightarrow \sigma_v^2 = \frac{47916}{2} \approx 23958 \] \[