Требуется для пластичного и хрупкого материала определить коэффициенты запаса прочности заданного элемента объема. Дано: σx=20 МПа; σy=−20 МПа; σz=90 МПа; τzy=70 МПа. Свойства…

Давайте решим задачу по частям, учитывая указания и параметры.

---

1. Исходные данные

• Напряжения:

  • \(\sigma_x = 20\,\text{МПа}\)
  • \(\sigma_y = -20\,\text{МПа}\)
  • \(\sigma_z = 90\,\text{МПа}\)
  • \(\tau_{zy} = 70\,\text{МПа}\)

• Свойства материалов:

  • а) Сталь 30: \(\sigma_t = 295\,\text{МПа}\)
  • б) Чугун ВЧ: \(\sigma_{вр} = 350\,\text{МПа}\), \(\sigma_{вс} = 1200\,\text{МПа}\)

---

2. Условие задачи

Нам нужно определить коэффициенты запаса прочности по критерию пластичности Треска-Сен-Венана.

В формулировке задачи есть важное понимание:

• Для пластичного материала коэффициент запаса по универсальному критерию Треска-Сен-Венана выражается так:

\[ K = \frac{\sigma_{т}}{\sigma_{кр}} \]

где \(\sigma_{кр}\) — максимальное напряжение, вызывающее пластическую деформацию или неудовлетворяющее пределу прочности.

Для условия «коэффициент запаса по критерию Треска-Сен-Венана», с учётом напряженного состояния, рассчитываем \(\sigma_{кр}\) по формуле:

\[ \sigma_{кр} = \frac{\sigma_{т}}{K} \]

или, наоборот, \(K = \frac{\sigma_{т}}{\sigma_{сложное}}\).

---

3. Нормативное напряжение по Треска-Сен-Венану

Критерий Треска-Сен-Венана для напряженного состояния дается формулой, которая соединяет главные напряжения:

\[ ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 = 2 \sigma_{в}^2 \]

где \(\sigma_{1,2,3}\) — главные напряжения, а \(\sigma_{в}\) — предельное напряжение на пластичность.

---

4. Находим главные напряжения (главные сжатия и растяжения)

Используем уравнение главных напряжений для 3D состояния:

\[ \begin{cases} \text{трехслойное разложение:} \\ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_x - \sigma_z}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y - \sigma_z}{2}\right)^2 + \text{учет τ} \end{cases} \]

лучше использовать формулу для наглядности и конкретных чисел:

Главные напряжения по формуле:

\[ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{A} \]

где \(A\) — дисперсия напряжений, с учетом τ.

Но проще в данном случае воспользоваться собственными значениями вектора напряжений:

Напряжения заданы в тензоре:

\[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} \]

Вычислим собственные значения этого матриц:

\[ \text{Eigenvalues} \Rightarrow \text{главные напряжения} \]

Обозначим:

\[ \begin{cases} \sigma_x' = 20\,\text{МПа} \\ \sigma_y' = -20\,\text{МПа} \\ \sigma_z' = 90\,\text{МПа} \end{cases} \]

• В матрице есть ненулевые офф-диагональные компоненты τ_{zy} = 70 МПа, то есть:

\[ \begin{bmatrix} -20 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 70 \\ 0 & 70 & 90 \end{bmatrix} \]

Эти составляющие влияют на главные напряжения.

---

5. Расчет главных напряжений с учетом τ_{zy}

Для блока с напряжениями:

\[ \begin{cases} \sigma_{x} = 20\,\text{МПа} \\ \sigma_{y} = -20\,\text{МПа} \\ \sigma_{z} = 90\,\text{МПа} \\ τ_{zy} = 70\,\text{МПа} \end{cases} \]

• Главные напряжения — это собственные значения тензора:

\[ \mathbf{\sigma} = \begin{bmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & -20 & 70 \\ 0 & 70 & 90 \end{bmatrix} \]

Рассчитаем собственные значения этого матрица:

Найдем характеристический многочлен:

\[ \det \begin{bmatrix} 20 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -20 - \lambda & 70 \\ 0 & 70 & 90 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \]

Легко понять, что для \(\lambda = 20\), характеристический многочлен равен:

\[ (20 - 20) \times \text{(остальной)} = 0 \]

— то есть \(\lambda_1 = 20\,\text{МПа}\).

Для остальных двух собственных значений — в решается 2x2 матрица:

\[ \det \begin{bmatrix} -20 - \lambda & 70 \\ 70 & 90 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \]

Рассчитаем:

\[ (-20 - \lambda)(90 - \lambda) - 70^2 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (-20)(90) - 20 \times (-\lambda) + (-\lambda)(90) + \lambda^2 - 4900 = 0 \] \[ -1800 + 20 \lambda - 90 \lambda + \lambda^2 - 4900 = 0 \] \[ \lambda^2 - 70 \lambda - 6700 = 0 \]

Решаем уравнение:

\[ \lambda = \frac{70 \pm \sqrt{70^2 + 4 \times 6700}}{2} \]

\[ \sqrt{4900 + 26800} = \sqrt{31700} \approx 177.84 \]

Тогда:

\[ \lambda_2 = \frac{70 + 177.84}{2} \approx 123.92\,\text{МПа} \] \[ \lambda_3 = \frac{70 - 177.84}{2} \approx -53.92\,\text{МПа} \]

Итак, главные напряжения:

\[ \sigma_{1} \approx 123.92\,\text{МПа} \] \[ \sigma_{2} = 20\,\text{МПа} \] \[ \sigma_{3} \approx -53.92\,\text{МПа} \]

---

6. Расчет критического напряжения \(\sigma_{кр}\) по Треска-Сен-Венана

Используем формулу:

\[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 = 2 \sigma_v^2 \]

Подставляем величины:

\[ (123.92 - 20)^2 + (20 - (-53.92))^2 + (-53.92 - 123.92)^2 = 2 \sigma_v^2 \]

Рассчитаем каждое:

\[ (103.92)^2 \approx 10800 \] \[ (73.92)^2 \approx 5470 \] \[ (-177.84)^2 \approx 31646 \]

Суммарно:

\[ 10800 + 5470 + 31646 \approx 47916 \]

Тогда:

\[ 2\sigma_v^2 = 47916 \Rightarrow \sigma_v^2 = \frac{47916}{2} \approx 23958 \]

[