Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- точки (A(1, 2, -1)),
- точки (B(2, 3, 0)),
- точки (C(3, 6, -3)).
Нам нужно найти косинус угла между векторами (\vec{AB}) и (\vec{AC}), а затем умножить результат на (4 \sqrt{3}).
Шаг 1: Найдём векторы (\vec{AB}) и (\vec{AC})
[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2 - 1,, 3 - 2,, 0 - (-1)) = (1, 1, 1)
]
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3 - 1,, 6 - 2,, -3 - (-1)) = (2, 4, -2)
]
Шаг 2: Найдём скалярное произведение (\vec{AB} \cdot \vec{AC})
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(2) + (1)(4) + (1)(-2) = 2 + 4 - 2 = 4
]
Шаг 3: Найдём длины векторов (\vec{AB}) и (\vec{AC})
[
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
]
[
|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
]
Шаг 4: Находим косинус угла между векторами
Формула:
[
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}
]
Подставим значения:
[
\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \times 2\sqrt{6}} = \frac{4}{2 \sqrt{3} \sqrt{6}} = \frac{4}{2 \sqrt{3 \times 6}} = \frac{4}{2 \sqrt{18}} = \frac{4}{2 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{4}{6 \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}}
]
Шаг 5: Умножим результат на (4 \sqrt{3})
[
\left( \frac{2}{3 \sqrt{2}} \right) \times 4 \sqrt{3} = \frac{2 \times 4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}
]
Рассмотрим выражение (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}):
[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}
]
В итоге:
[
\frac{8}{3} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
]
Объединяем:
[
\boxed{\frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}}
]
Это окончательный ответ.
Ответ:
[
\boxed{\frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}}
]
