Даны точки А(1; 2;-1), B(2; 3; 0), С(3; 6; -3). Чему равен косинус угла между векторами АВ и АС? Результат умножить на 4 корня из 3. Ответ:

Давайте решим задачу по шагам.

Дано:

• точки \(A(1, 2, -1)\),
• точки \(B(2, 3, 0)\),
• точки \(C(3, 6, -3)\).

Нам нужно найти косинус угла между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), а затем умножить результат на \(4 \sqrt{3}\).

Шаг 1: Найдём векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2 - 1,\, 3 - 2,\, 0 - (-1)) = (1, 1, 1) \]

\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3 - 1,\, 6 - 2,\, -3 - (-1)) = (2, 4, -2) \]

Шаг 2: Найдём скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(2) + (1)(4) + (1)(-2) = 2 + 4 - 2 = 4 \]

Шаг 3: Найдём длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Шаг 4: Находим косинус угла между векторами

Формула: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]

Подставим значения:

\[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \times 2\sqrt{6}} = \frac{4}{2 \sqrt{3} \sqrt{6}} = \frac{4}{2 \sqrt{3 \times 6}} = \frac{4}{2 \sqrt{18}} = \frac{4}{2 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{4}{6 \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}} \]

Шаг 5: Умножим результат на \(4 \sqrt{3}\)

\[ \left( \frac{2}{3 \sqrt{2}} \right) \times 4 \sqrt{3} = \frac{2 \times 4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}} \]

Рассмотрим выражение \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\):

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \]

В итоге:

\[ \frac{8}{3} \times \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Объединяем:

\[ \boxed{\frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}} \]

Это окончательный ответ.

Ответ:

\[ \boxed{\frac{8 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}} \]