Чтобы оценить среднее количество сделок за неделю на бирже с надежностью 0,99 (99%), используем доверительный интервал для среднего по выборке.
Пусть у нас есть данные:
| ( x_i ) (количество сделок) |
( n_i ) (число инвесторов) |
| 4 |
4 |
| 6 |
6 |
| 8 |
8 |
| 7 |
7 |
| 4 |
4 |
| 3 |
3 |
| 2 |
2 |
| 1 |
1 |
Шаг 1: Найти сумму сделок и сумму инвесторов
Выборочное среднее рассчитывается как сумма всех сделок, делённая на сумму всех инвесторов.
Сумма сделок:
[ \sum x_i = (4 \times 4) + (6 \times 6) + (8 \times 8) + (7 \times 7) + (4 \times 4) + (3 \times 3) + (2 \times 2) + (1 \times 1) ]
Подсчёт:
[ 4 \times 4 = 16 ]
[ 6 \times 6 = 36 ]
[ 8 \times 8 = 64 ]
[ 7 \times 7 = 49 ]
[ 4 \times 4 = 16 ]
[ 3 \times 3 = 9 ]
[ 2 \times 2 = 4 ]
[ 1 \times 1 = 1 ]
Общая сумма сделок:
[ S_x = 16 + 36 + 64 + 49 + 16 + 9 + 4 + 1 = 195 ]
Сумма инвесторов:
[ \sum n_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35 ]
Шаг 2: Вычислить выборочную среднюю
[
\bar{x} = \frac{S_x}{\sum n_i} = \frac{195}{35} \approx 5,57
]
Округляем до одной десятой: 5,6.
Шаг 3: Найти дисперсию и стандартную ошибку
Поскольку у нас есть данные по каждой группе (числу сделок и количеству инвесторов), удобно использовать взвешенное среднее:
Перед этим нужно рассчитать выборочную дисперсию — она необходима для определения доверительного интервала.
Расчёт по группам:
Для каждой группы вычислим среднее сделок:
[
x_{\text{группа}} = x_i
]
и сгруппированное среднее взаимодействует с весами (числом инвесторов).
Но в данном случае, чтобы проще, можно принять, что данные группы — агрегированные. Тогда считаем дисперсию по группам:
Используем следующую формулу для оценки дисперсии:
[
s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^k n_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2
]
где ( N = \sum n_i = 35 ).
Вычисляем каждую разницу:
[
x_i - \bar{x}:
]
| ( x_i ) |
( x_i - 5,6 ) |
( n_i ) |
( n_i \times (x_i - 5,6)^2 ) |
| 4 |
-1,6 |
4 |
4 \times (1,6)^2 = 4 \times 2,56 = 10,24 |
| 6 |
0,4 |
6 |
6 \times (0,4)^2 = 6 \times 0,16 = 0,96 |
| 8 |
2,4 |
8 |
8 \times (2,4)^2 = 8 \times 5,76 = 46,08 |
| 7 |
1,4 |
7 |
7 \times (1,4)^2 = 7 \times 1,96 = 13,72 |
| 4 |
-1,6 |
4 |
4 \times 2,56 = 10,24 |
| 3 |
-2,6 |
3 |
3 \times 6,76 = 20,28 |
| 2 |
-3,6 |
2 |
2 \times 12,96 = 25,92 |
| 1 |
-4,6 |
1 |
1 \times 21,16 = 21,16 |
Теперь сумма этих взвешенных квадратов:
[
\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = 10,24 + 0,96 + 46,08 + 13,72 + 10,24 + 20,28 + 25,92 + 21,16 = 148,6
]
Дисперсия:
[
s^2 = \frac{148,6}{35 - 1} = \frac{148,6}{34} \approx 4,37
]
Стандартная ошибка среднего (SES):
[
SE = \sqrt{\frac{s^2}{N}} = \sqrt{\frac{4,37}{35}} \approx \sqrt{0,1249} \approx 0,35
]
Шаг 4: Определить критическое значение для доверительного интервала
Для уровня надежности 0,99 (95% — 1,96, 99% — примерно 2,65 по таблице для t-распределения, так как степень свободы ( N - 1 = 34 )).
При большом количестве степень свободы, приближённо используем значение из t-таблицы:
[
t_{0,995,34} \approx 2,72
]
Шаг 5: Построить доверительный интервал
Пределы доверительного интервала:
[
\bar{x} \pm t \times SE
]
Подставляем числа:
[
5,6 \pm 2,72 \times 0,35
]
[
5,6 \pm 0,952
]
Итак, доверительный интервал:
- Нижняя граница: (5,6 - 0,952 \approx 4,6)
- Верхняя граница: (5,6 + 0,952 \approx 6,5)
Итог:
Ответ: выборочная средняя составляет примерно 5,6 (округлено до одной десятой).
Если потребуется более точное описание или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
