Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99…
Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99 среднее количество сделок на бирже за неделю по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Введите значение выборочной средней (ответ округлите с точностью до 10-1). Целую часть числа от дробной отделяйте запятой.
Чтобы оценить среднее количество сделок за неделю на бирже с надежностью 0,99 (99%), используем доверительный интервал для среднего по выборке.
Пусть у нас есть данные:
| \( x_i \) (количество сделок) | \( n_i \) (число инвесторов) |
|---|---|
| 4 | 4 |
| 6 | 6 |
| 8 | 8 |
| 7 | 7 |
| 4 | 4 |
| 3 | 3 |
| 2 | 2 |
| 1 | 1 |
Шаг 1: Найти сумму сделок и сумму инвесторов
Выборочное среднее рассчитывается как сумма всех сделок, делённая на сумму всех инвесторов.
Сумма сделок: \[ \sum x_i = (4 \times 4) + (6 \times 6) + (8 \times 8) + (7 \times 7) + (4 \times 4) + (3 \times 3) + (2 \times 2) + (1 \times 1) \]
Подсчёт: \[ 4 \times 4 = 16 \] \[ 6 \times 6 = 36 \] \[ 8 \times 8 = 64 \] \[ 7 \times 7 = 49 \] \[ 4 \times 4 = 16 \] \[ 3 \times 3 = 9 \] \[ 2 \times 2 = 4 \] \[ 1 \times 1 = 1 \]
Общая сумма сделок: \[ S_x = 16 + 36 + 64 + 49 + 16 + 9 + 4 + 1 = 195 \]
Сумма инвесторов: \[ \sum n_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35 \]
Шаг 2: Вычислить выборочную среднюю
\[ \bar{x} = \frac{S_x}{\sum n_i} = \frac{195}{35} \approx 5,57 \]
Округляем до одной десятой: 5,6.
Шаг 3: Найти дисперсию и стандартную ошибку
Поскольку у нас есть данные по каждой группе (числу сделок и количеству инвесторов), удобно использовать взвешенное среднее:
Перед этим нужно рассчитать выборочную дисперсию — она необходима для определения доверительного интервала.
Расчёт по группам:
Для каждой группы вычислим среднее сделок: \[ x_{\text{группа}} = x_i \] и сгруппированное среднее взаимодействует с весами (числом инвесторов).
Но в данном случае, чтобы проще, можно принять, что данные группы — агрегированные. Тогда считаем дисперсию по группам:
Используем следующую формулу для оценки дисперсии: \[ s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^k n_i \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \] где \( N = \sum n_i = 35 \).
Вычисляем каждую разницу: \[ x_i - \bar{x}: \]
| \( x_i \) | \( x_i - 5,6 \) | \( n_i \) | \( n_i \times (x_i - 5,6)^2 \) |
|---|---|---|---|
| 4 | -1,6 | 4 | 4 \times (1,6)^2 = 4 \times 2,56 = 10,24 |
| 6 | 0,4 | 6 | 6 \times (0,4)^2 = 6 \times 0,16 = 0,96 |
| 8 | 2,4 | 8 | 8 \times (2,4)^2 = 8 \times 5,76 = 46,08 |
| 7 | 1,4 | 7 | 7 \times (1,4)^2 = 7 \times 1,96 = 13,72 |
| 4 | -1,6 | 4 | 4 \times 2,56 = 10,24 |
| 3 | -2,6 | 3 | 3 \times 6,76 = 20,28 |
| 2 | -3,6 | 2 | 2 \times 12,96 = 25,92 |
| 1 | -4,6 | 1 | 1 \times 21,16 = 21,16 |
Теперь сумма этих взвешенных квадратов: \[ \sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = 10,24 + 0,96 + 46,08 + 13,72 + 10,24 + 20,28 + 25,92 + 21,16 = 148,6 \]
Дисперсия: \[ s^2 = \frac{148,6}{35 - 1} = \frac{148,6}{34} \approx 4,37 \]
Стандартная ошибка среднего (SES): \[ SE = \sqrt{\frac{s^2}{N}} = \sqrt{\frac{4,37}{35}} \approx \sqrt{0,1249} \approx 0,35 \]
Шаг 4: Определить критическое значение для доверительного интервала
Для уровня надежности 0,99 (95% — 1,96, 99% — примерно 2,65 по таблице для t-распределения, так как степень свободы \( N - 1 = 34 \)).
При большом количестве степень свободы, приближённо используем значение из t-таблицы: \[ t_{0,995,34} \approx 2,72 \]
Шаг 5: Построить доверительный интервал
Пределы доверительного интервала: \[ \bar{x} \pm t \times SE \]
Подставляем числа: \[ 5,6 \pm 2,72 \times 0,35 \] \[ 5,6 \pm 0,952 \]
Итак, доверительный интервал:
- Нижняя граница: \(5,6 - 0,952 \approx 4,6\)
- Верхняя граница: \(5,6 + 0,952 \approx 6,5\)
Итог:
Ответ: выборочная средняя составляет примерно 5,6 (округлено до одной десятой).
Если потребуется более точное описание или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
