2. Образующая конуса равна 7см, а радиус основания 3см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Образующая конуса \( l = 7 \) см
- Радиус основания \( r = 3 \) см
Требуется найти площадь полной поверхности конуса.
Что такое площадь полной поверхности конуса?
Площадь полной поверхности состоит из двух частей:
- Площадь боковой поверхности \( S_{боке} \)
- Площадь основания \( S_{осн} \)
Формула полной поверхности:
\[
S_{полная} = S_{боке} + S_{осн}
\]
Шаг 1: Найдём площадь основания \( S_{осн} \)
Основная формула площади круга:
\[
S_{осн} = \pi r^2
\]
Подставляем значение \( r = 3 \) см:
\[
S_{осн} = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ см}^2
\]
Шаг 2: Найдём высоту конуса \( h \)
У нас есть образующая \( l \) и радиус \( r \).
Образующая \( l \), радиус \( r \), и высота \( h \) связаны через прямоугольный треугольник:
\[ l^2 = h^2 + r^2 \]
Решим уравнение относительно \( h \):
\[ h = \sqrt{l^2 - r^2} \]
Подставляем значения:
\[
h = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \text{ см}
\]
Шаг 3: Найдём боковую поверхность \( S_{боке} \)
Формула боковой поверхности конуса:
\[
S_{боке} = \pi r l
\]
Подставляем:
\[
S_{боке} = \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi \text{ см}^2
\]
Шаг 4: Найдём полную площадь поверхности
\[ S_{полная} = S_{боке} + S_{осн} = 21 \pi + 9 \pi = 30 \pi \text{ см}^2 \]
Итог:
\[ \boxed{ \text{Площадь полной поверхности конуса} = 30 \pi \text{ см}^2 } \]
Если нужно числовое значение, подставляем \( \pi \approx 3.14 \):
\[ 30 \times 3.14 \approx 94.2 \text{ см}^2 \]
Если есть вопросы или нужно дополнительно объяснить, обращайтесь!
