Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Образующая конуса ( l = 7 ) см
- Радиус основания ( r = 3 ) см
Требуется найти площадь полной поверхности конуса.
Что такое площадь полной поверхности конуса?
Площадь полной поверхности состоит из двух частей:
- Площадь боковой поверхности ( S_{боке} )
- Площадь основания ( S_{осн} )
Формула полной поверхности:
[
S_{полная} = S_{боке} + S_{осн}
]
Шаг 1: Найдём площадь основания ( S_{осн} )
Основная формула площади круга:
[
S_{осн} = \pi r^2
]
Подставляем значение ( r = 3 ) см:
[
S_{осн} = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ см}^2
]
Шаг 2: Найдём высоту конуса ( h )
У нас есть образующая ( l ) и радиус ( r ).
Образующая ( l ), радиус ( r ), и высота ( h ) связаны через прямоугольный треугольник:
[
l^2 = h^2 + r^2
]
Решим уравнение относительно ( h ):
[
h = \sqrt{l^2 - r^2}
]
Подставляем значения:
[
h = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \text{ см}
]
Шаг 3: Найдём боковую поверхность ( S_{боке} )
Формула боковой поверхности конуса:
[
S_{боке} = \pi r l
]
Подставляем:
[
S_{боке} = \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi \text{ см}^2
]
Шаг 4: Найдём полную площадь поверхности
[
S_{полная} = S_{боке} + S_{осн} = 21 \pi + 9 \pi = 30 \pi \text{ см}^2
]
Итог:
[
\boxed{
\text{Площадь полной поверхности конуса} = 30 \pi \text{ см}^2
}
]
Если нужно числовое значение, подставляем ( \pi \approx 3.14 ):
[
30 \times 3.14 \approx 94.2 \text{ см}^2
]
Если есть вопросы или нужно дополнительно объяснить, обращайтесь!
