составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий в мишель при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. найти…

Давайте разберем задачу поэтапно.

Дано:

• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: \( p = \frac{2}{3} \)
• Количество выстрелов: 3
• Обозначим случайную величину \( X \) — число попаданий за три выстрела.

---

1. Закон распределения случайной величины \( X \)

Поскольку каждый выстрел — это независимая Bernoulli-случайность с вероятностью успеха \( p \), а число попаданий — сумма успешных исходов, то:

\( X \sim \text{Биномиальное}(n=3, p=\frac{2}{3}) \).

Румовка вероятностей по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}, \]

где:

• \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент,
• \( n = 3 \),
• \( p = \frac{2}{3} \),
• \( k = 0, 1, 2, 3 \).

---

2. Вычисление вероятностей

• Для \( k=0 \):

\[ P(X=0) = C_3^0 \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{1}{27} = \frac{1}{27}. \]

• Для \( k=1 \):

\[ P(X=1) = C_3^1 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{3} \times \frac{1}{9} = 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}. \]

• Для \( k=2 \):

\[ P(X=2) = C_3^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}. \]

• Для \( k=3 \):

\[ P(X=3) = C_3^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{8}{27} \times 1 = \frac{8}{27}. \]

Проверка суммы вероятностей:

\[ \frac{1}{27} + \frac{2}{9} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{1 + 6 + 12 + 8}{27} = \frac{27}{27} = 1. \]

Все в порядке.

---

Итог: Закон распределения \( X \)

\( k \)	\( P(X=k) \)	Величина
0	\( \frac{1}{27} \)	вероятность не попасть ни разу
1	\( \frac{2}{9} \)	попасть один раз
2	\( \frac{4}{9} \)	попасть два раза
3	\( \frac{8}{27} \)	попасть три раза

---

3. Математическое ожидание — \( \mathrm{E}[X] \)

Для биномиального распределения:

\[ \boxed{ \mathrm{E}[X] = np = 3 \times \frac{2}{3} = 2. } \]

---

4. Дисперсия — \( \mathrm{D}[X] \)

Формула для дисперсии биномиального распределения:

\[ \boxed{ \mathrm{D}[X] = np(1-p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. } \]

---

5. Среднее квадратическое отклонение — \( \sigma \)

Это корень из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{\mathrm{D}[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816. \]

---

Итог:

• Закон распределения: биномиальный с параметрами \( n=3, p=2/3 \).
• Математическое ожидание: \( 2 \).
• Дисперсия: \( \frac{2}{3} \).
• Среднее квадратическое отклонение: \( \approx 0.816 \).

Если нужны дополнительные пояснения или расчеты — обращайтесь!