Составить закон распределения случайной величины Х- числа попаданий в мишель при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. найти математическое охлаждение, дисперсию и среднее квадратическое отклонением.

Давайте разберем задачу поэтапно. **Дано:** - Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: \( p = \frac{2}{3} \) - Количество выстрелов: 3 - Обозначим случайную величину \( X \) — число попаданий за три выстрела. --- ## 1. Закон распределения случайной величины \( X \) Поскольку каждый выстрел — это независимая Bernoulli-случайность с вероятностью успеха \( p \), а число попаданий — сумма успешных исходов, то: \( X \sim \text{Биномиальное}(n=3, p=\frac{2}{3}) \). Румовка вероятностей по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}, \] где: - \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, - \( n = 3 \), - \( p = \frac{2}{3} \), - \( k = 0, 1, 2, 3 \). --- ## 2. Вычисление вероятностей - Для \( k=0 \): \[ P(X=0) = C_3^0 \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{1}{27} = \frac{1}{27}. \] - Для \( k=1 \): \[ P(X=1) = C_3^1 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{3} \times \frac{1}{9} = 2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}. \] - Для \( k=2 \): \[ P(X=2) = C_3^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}. \] - Для \( k=3 \): \[ P(X=3) = C_3^3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{8}{27} \times 1 = \frac{8}{27}. \] Проверка суммы вероятностей: \[ \frac{1}{27} + \frac{2}{9} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{1 + 6 + 12 + 8}{27} = \frac{27}{27} = 1. \] Все в порядке. --- ## Итог: Закон распределения \( X \) | \( k \) | \( P(X=k) \) | Величина | |---------|----------------------------|----------------------------| | 0 | \( \frac{1}{27} \) | вероятность не попасть ни разу | | 1 | \( \frac{2}{9} \) | попасть один раз | | 2 | \( \frac{4}{9} \) | попасть два раза | | 3 | \( \frac{8}{27} \) | попасть три раза | --- ## 3. Математическое ожидание — \( \mathrm{E}[X] \) Для биномиального распределения: \[ \boxed{ \mathrm{E}[X] = np = 3 \times \frac{2}{3} = 2. } \] --- ## 4. Дисперсия — \( \mathrm{D}[X] \) Формула для дисперсии биномиального распределения: \[ \boxed{ \mathrm{D}[X] = np(1-p) = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. } \] --- ## 5. Среднее квадратическое отклонение — \( \sigma \) Это корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{\mathrm{D}[X]} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816. \] --- ## Итог: - Закон распределения: биномиальный с параметрами \( n=3, p=2/3 \). - Математическое ожидание: \( 2 \). - Дисперсия: \( \frac{2}{3} \). - Среднее квадратическое отклонение: \( \approx 0.816 \). Если нужны дополнительные пояснения или расчеты — обращайтесь!