В винограде содержится 80% воды, а в изюме (высушенном винограде) — 20% воды. 10 кг винограда решили засушить, но в момент, когда вода составляла 60% массы винограда, 1 кг…
В винограде содержится 80% воды, а в изюме (высушенном винограде) — 20% воды. 10 кг винограда решили засушить, но в момент, когда вода составляла 60% массы винограда, 1 кг винограда забрали. Сколько килограммов изюма получилось в итоге?
Рассмотрим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- В винограде изначально содержится 80% воды.
- В изюме (высушенном винограде) — 20% воды.
- Начальная масса винограда — 10 кг.
- Когда вода в винограде составляла 60% массы винограда, забрали 1 кг винограда.
Шаг 1: Найти массу воды и несодержимого воды (мука, кожа и т.п.) в начальном винограде
Изначально:
- Общая масса винограда: 10 кг
- Вода: 80% от 10 кг = 0.8 × 10 = 8 кг
- Остальное (мясо, кожа и т.п.): 10 кг – 8 кг = 2 кг
Шаг 2: Когда вода составляла 60% от массы винограда
Обозначим массу винограда в этот момент как \( M_1 \).
По условию:
Вода в этот момент — 60% массы:
\( 0.6 \times M_1 \)Не содержащая воду часть (мясо и т.п.) — 40% массы:
\( 0.4 \times M_1 \)
Из начальных данных, так как в винограде ещё не началась сушка, вода и неводная часть остаются пропорциональными.
Но важно учесть, что со временем из винограда испаряется вода, а неоновное мясо и другие компоненты остаются.
Шаг 3: Масса винограда в момент, когда вода составляла 60%
Чтобы разобраться, пусть первоначально масса воды была 8 кг — это 80% от 10 кг, а остальное — 2 кг.
Когда поймём, что вода составляет 60% от массы, мяса (неводная часть) — 40%, то:
- Вода в тот момент: \( 0.6 \times M_1 \)
- Общее количество винограда на тот момент: \( M_1 \)
Известно, что количество неводной части не меняется (никак не исчезает при сушке — только вода уходит), поэтому:
Вначале неводная часть — 2 кг.
В момент, когда вода составляет 60%:
Неводная часть остаётся 2 кг.
Это условие важно: когда воду составляет 60% массы, неводная часть равна 40% от массы винограда.
Значит,
\[ 0.4 \times M_1 = 2 \text{ кг} \]
Отсюда:
\[ M_1 = \frac{2}{0.4} = 5 \text{ кг} \]
Это — масса винограда в момент, когда вода составляла 60%.
Шаг 4: Определим количество воды в этот момент
Вода — 60% от массы:
\[ 0.6 \times 5 = 3 \text{ кг} \]
Масса неводной части — 2 кг (только она не меняется).
Шаг 5: В это время забрали 1 кг винограда
Масса оставшегося винограда после забора:
\[ 5 - 1 = 4 \text{ кг} \]
Важно: часть винограда, которую забрали, имела те же пропорции воды и неводной части при этом моменте.
Шаг 6: Определим, сколько воды и неводной части забрали
Поскольку внутри оставшегося винограда вода — 60%, неводная часть — 40%, то в 1 кг забранного винограда:
- Вода: \( 0.6 \times 1 = 0.6 \text{ кг} \)
- Неводная часть: \( 0.4 \times 1 = 0.4 \text{ кг} \)
Шаг 7: Остаток винограда после забора
Масса осталась:
- Вода: \( 3 \text{ кг} - 0.6 \text{ кг} = 2.4 \text{ кг} \)
- Неводная часть: \( 2 \text{ кг} - 0.4 \text{ кг} = 1.6 \text{ кг} \)
Общая масса осталась:
\[ 2.4 + 1.6 = 4 \text{ кг} \]
Шаг 8: Теперь рассчитаем количество воды в результате сушки
Масса винограда после этого этапа — 4 кг, и он содержит:
- Воду: 2.4 кг
- Неводную часть: 1.6 кг
Шаг 9: Типичный состав изюма
В изюме (высушенном винограде):
- Вода — 20%
Значит, из оставшихся 4 кг винограда нужно понять, сколько из них — вода и сколько — сухое вещество (мясо).
Обозначим массу сухого вещества (\( M_{dry} \)):
\[ M_{dry} = 1.6 \text{ кг} \]
Это — ровно столько неводной части, которая останется в изюме.
Чтобы получить изюм, нужно снизить содержание воды до 20%. Тогда:
\[ \text{Масса воды} = 20\% \times (\text{общая масса изюма}) \]
Обозначим массу изюма как \( M_{raisin} \).
Из условия:
\[ \text{Масса сухой части} = 1.6 \text{ кг} \]
Это соответствует 80% от массы изюма (так как вода — 20%), значит:
\[ 0.8 \times M_{raisin} = 1.6 \]
Отсюда:
\[ M_{raisin} = \frac{1.6}{0.8} = 2 \text{ кг} \]
Ответ:
В итоге из 4 кг винограда, поскольку сделан из него изюм с содержанием воды 20%, получилось около 2 кг изюма.
