Вычислить предел

Давайте решим задачу по шагам.

Задача: найти предел

\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x - 5}{1 + x^2 + 4x^2} \]

1. Обозначим выражение:

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x - 5}{1 + x^2 + 4x^2} \]

2. Приведем знаменатель к более простому виду:

\[ 1 + x^2 + 4x^2 = 1 + 5x^2 \]

Тогда выражение будет

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x - 5}{1 + 5x^2} \]

3. Проанализируем поведение функции при \( x \to -\infty \):

• В числителе самый старший член — \( x^2 \), остальные меньшие по степени.
• В знаменателе самый старший член — \( 5x^2 \).

Чтобы понять предел, разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):

\[ f(x) = \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} - \frac{5}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{5x^2}{x^2}} = \frac{1 - \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + 5} \]

4. Оценим поведение по мере \( x \to -\infty \):

• \( \frac{3}{x} \to 0 \)
• \( \frac{5}{x^2} \to 0 \)
• \( \frac{1}{x^2} \to 0 \)

Таким образом,

\[ f(x) \to \frac{1 - 0 - 0}{0 + 5} = \frac{1}{5} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]

Предел равен \(\frac{1}{5}\).

Если есть еще вопросы или нужна более подробная объясняющая часть — скажи!