Вычислить предел

Давайте рассмотрим задачу:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 3x - 5}{1 + x + 4x^2} \]

Шаг 1: Анализ поведения числителя и знаменателя при \(x \to +\infty\).
Числитель: \(2x^2 - 3x - 5\) — при больших значениях \(x\), доминирует член \(2x^2\).
Знаменатель: \(1 + x + 4x^2\) — при больших \(x\), доминирует член \(4x^2\).

Шаг 2: Вынесем \(x^2\) за скобки в числителе и знаменателе, чтобы упростить выражение:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 (2 - \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2})}{x^2 ( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 4 )} \]

Теперь можно сократить \(x^2\):

\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 4} \]

Шаг 3: Определим пределы каждого из членов по мере приближения \(x \to +\infty\):

• \(\frac{3}{x} \to 0\)
• \(\frac{5}{x^2} \to 0\)
• \(\frac{1}{x^2} \to 0\)
• \(\frac{1}{x} \to 0\)

Итак, получаем:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + 0 + 0}{0 + 0 + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

Предел равен \(\frac{1}{2}\).