Рассмотрим данную задачу пошагово.
Дано:
- Вектор скорости: (\vec{v}(t) = \vec{A} t^2 \mathbf{i} + \vec{B} t \mathbf{j})
- Компоненты: (A = 3, \text{м/с}^2), (B = 1, \text{м/с}), (C = 2, \text{м/с}^2)
- Начальная точка: (r(0) = 0) (из начала координат)
Обратите внимание, что в выражении скорости, по всему виду, есть две компоненты: одна пропорциональна (t^2), другая — пропорциональна (t).
1. Запись уравнения скорости
Пусть:
[
\vec{v}(t) = (A t^2 + C t) \mathbf{i} + (B t) \mathbf{j}
]
где компонент по (x):
[
v_x(t) = A t^2 + C t
]
и по (y):
[
v_y(t) = B t
]
Заметим, что по условию, A, B, C — константы.
2. Нахождение функции положения (\vec{r}(t))
Положение можно найти путем интегрирования скорости:
[
\vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{r}_0
]
где начальная точка (\vec{r}_0 = 0).
3. Вычисление компонент (\vec{r}(t))
Для компоненты по (x):
[
x(t) = \int v_x(t) dt = \int (A t^2 + C t) dt
]
Интегрируем:
[
x(t) = A \frac{t^3}{3} + C \frac{t^2}{2} + x_0
]
где (x_0 = 0).
Для компоненты по (y):
[
y(t) = \int v_y(t) dt = \int B t dt = B \frac{t^2}{2} + y_0
]
где (y_0 = 0).
4. Записываем итоговые уравнения положения:
[
\boxed{
\begin{aligned}
x(t) &= \frac{A t^3}{3} + \frac{C t^2}{2} \
y(t) &= \frac{B t^2}{2}
\end{aligned}
}
]
Подставляя числовые значения (A=3, \text{м/с}^2), (B=1, \text{м/с}), (C=2, \text{м/с}^2):
[
\boxed{
\begin{aligned}
x(t) &= \frac{3 t^3}{3} + \frac{2 t^2}{2} = t^3 + t^2 \
y(t) &= \frac{1 \cdot t^2}{2} = \frac{t^2}{2}
\end{aligned}
}
]
5. Ответ 1: уравнение движения (\vec{r}(t)):
[
\boxed{
\vec{r}(t) = \left( t^3 + t^2 \right) \mathbf{i} + \left( \frac{t^2}{2} \right) \mathbf{j}
}
]
6. Модуль перемещения за первые 2 секунды
Нас интересует (\vec{r}(2)):
[
x(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12, \text{м}
]
[
y(2) = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2, \text{м}
]
Модуль:
[
|\vec{r}(2)| = \sqrt{x(2)^2 + y(2)^2} = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \approx 12.17, \text{м}
]
Итоговая часть:
Уравнение движения:
[
\boxed{
\vec{r}(t) = (t^3 + t^2) \mathbf{i} + \left(\frac{t^2}{2}\right) \mathbf{j}
}
]
Модуль перемещения за 2 секунды:
[
\boxed{
|\vec{r}(2)| \approx 12.17, \text{м}
}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно — скажите!
