Закон изменения вектора скорости материальной точки имеет вид:   2 At B i Ctj        , где А = 3 м/с2 ; В = 1 м/с; С = 2 м/с2 . Получите уравнение движения r(t)  , если…

Рассмотрим данную задачу пошагово.

Дано:

• Вектор скорости: \(\vec{v}(t) = \vec{A} t^2 \mathbf{i} + \vec{B} t \mathbf{j}\)
• Компоненты: \(A = 3\, \text{м/с}^2\), \(B = 1\, \text{м/с}\), \(C = 2\, \text{м/с}^2\)
• Начальная точка: \(r(0) = 0\) (из начала координат)

Обратите внимание, что в выражении скорости, по всему виду, есть две компоненты: одна пропорциональна \(t^2\), другая — пропорциональна \(t\).

---

1. Запись уравнения скорости

Пусть:

\[ \vec{v}(t) = (A t^2 + C t) \mathbf{i} + (B t) \mathbf{j} \]

где компонент по \(x\):

\[ v_x(t) = A t^2 + C t \]

и по \(y\):

\[ v_y(t) = B t \]

Заметим, что по условию, A, B, C — константы.

---

2. Нахождение функции положения \(\vec{r}(t)\)

Положение можно найти путем интегрирования скорости:

\[ \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{r}_0 \]

где начальная точка \(\vec{r}_0 = 0\).

---

3. Вычисление компонент \(\vec{r}(t)\)

Для компоненты по \(x\):

\[ x(t) = \int v_x(t) dt = \int (A t^2 + C t) dt \]

Интегрируем:

\[ x(t) = A \frac{t^3}{3} + C \frac{t^2}{2} + x_0 \]

где \(x_0 = 0\).

Для компоненты по \(y\):

\[ y(t) = \int v_y(t) dt = \int B t dt = B \frac{t^2}{2} + y_0 \]

где \(y_0 = 0\).

---

4. Записываем итоговые уравнения положения:

\[ \boxed{ \begin{aligned} x(t) &= \frac{A t^3}{3} + \frac{C t^2}{2} \\ y(t) &= \frac{B t^2}{2} \end{aligned} } \]

Подставляя числовые значения \(A=3\, \text{м/с}^2\), \(B=1\, \text{м/с}\), \(C=2\, \text{м/с}^2\):

\[ \boxed{ \begin{aligned} x(t) &= \frac{3 t^3}{3} + \frac{2 t^2}{2} = t^3 + t^2 \\ y(t) &= \frac{1 \cdot t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \end{aligned} } \]

---

5. Ответ 1: уравнение движения \(\vec{r}(t)\):

\[ \boxed{ \vec{r}(t) = \left( t^3 + t^2 \right) \mathbf{i} + \left( \frac{t^2}{2} \right) \mathbf{j} } \]

---

6. Модуль перемещения за первые 2 секунды

Нас интересует \(\vec{r}(2)\):

\[ x(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12\, \text{м} \] \[ y(2) = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2\, \text{м} \]

Модуль:

\[ |\vec{r}(2)| = \sqrt{x(2)^2 + y(2)^2} = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \approx 12.17\, \text{м} \]

---

Итоговая часть:

Уравнение движения:

\[ \boxed{ \vec{r}(t) = (t^3 + t^2) \mathbf{i} + \left(\frac{t^2}{2}\right) \mathbf{j} } \]

Модуль перемещения за 2 секунды:

\[ \boxed{ |\vec{r}(2)| \approx 12.17\, \text{м} } \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно — скажите!