10 школьников и 4 преподавателя принялись играть в пинг-понг на перемене. Преподаватели Иннокентий Константинович и Захар Владиславович играли только с преподавателями, школьник…
10 школьников и 4 преподавателя принялись играть в пинг-понг на перемене. Преподаватели Иннокентий Константинович и Захар Владиславович играли только с преподавателями, школьник Петя – только со школьниками, а все остальные играли со всеми. Сколько было сыграно партий, если окончанием перемены они все пренебрегли?
Рассмотрим проблему по частям и по шагам:
Дано:
- Общее число участников: 10 школьников + 4 преподавателя = 14 человек.
- Имена участников: школьник Петя и 9 других школьников, а также 4 преподавателя – Иннокентий Константинович, Захар Владиславович и два других преподавателя (обозначим их условно как преподаватель А и преподаватель Б).
Условия игры:
- Преподаватели Иннокентий и Захар играют только с преподавателями.
- Школьник Петя играет только с школьниками.
- Все остальные (кроме Петина и двух преподавателей) играют со всеми.
Цель:
Подсчитать общее количество сыгранных партий.
Шаг 1: Определим группы участников:
- Школьники: Петя + остальные 9 школьников = всего 10 школьников.
- Преподаватели: 4 (Иннокентий, Захар + ещё 2).
Обозначим:
- Школьники: S = 10
- Преподаватели: P = 4
Петя — один из школьников.
Шаг 2: Какие пары играют?
- Иннокентий и Захар: могут играть только с преподавателями.
- Петя: играет только с школьниками.
- Все остальные: играют со всеми, то есть с любым участником (включая школьников и преподавателей — исключая Петю в случае, если он), согласно условию.
Шаг 3: Подсчёт пар с учётом условий
Рассмотрим три группы:
A) Парии между преподавателями, Иннокентием и Захаром:
- Их игры: только с преподавателями.
- Особенность: Иннокентий и Захар не играют с школьниками.
- Остальные 2 преподавателя (А и Б): играют со всеми (и преподавателями, и школьниками).
Б) Парии между Петей и школьниками:
- Петя играет только с школьниками.
- Петя не играет с преподавателями.
- Остальные школьники (кроме Пети): играют со всеми.
В) Парии между остальными школьниками и преподавателями:
Эти школьники — остальные 9 минус Петя (один из них), итого 9-1=8 школьников.
Они играют со всеми (включая преподавателей и Петю, но Петя не в их группе, потому что он играет только с школьниками).
Шаг 4: Подсчёт пар
Общее число игр = сумма игр по каждой категории, избегая двойного счёта.
Рассмотрим отдельно.
Шаг 5: Игры преподавателей между собой (внутри преподавателей):
Общее число пар из 4 преподавателей: C(4, 2) = 6.
Но играют только Иннокентий и Захар с преподавателями: это — пары между Иннокентием и Захаром и между каждым из них и двумя другими.
Поскольку Иннокентий и Захар играют только с преподавателями (все 4), то:
Иннокентий играет с: Захар, Алексей, Борис → итого 3 пары.
Захар играет с: Иннокентий, Алексей, Борис → итого 3 пары.
Остальные преподаватели (А и Б) играют со всеми, поэтому:
А играет со Иннокентием и Захаром (уже посчитано выше), а также с Борисом и Алексом — итого 2 новых пары (с Борисом и Алексом).
Аналогично Б тоже играет со всеми.
В итоге, при учёте только игроков, которые играют только с преподавателями:
- Иннокентий и Захар играют только с преподавателями; это 2 пары (между ними), плюс с 2 другими преподавателями: 2 пары (Иннокентий-А, Иннокентий-Б), 2 пары (Захар-А, Захар-Б).
Итак, внутри преподавателей:
- Пересчитаем по парам:
- Иннокентий — Захар
- Иннокентий — Алексей
- Иннокентий — Борис
- Захар — Алексей
- Захар — Борис
- Алексей — Борис
Это 6 пар.
Но только пары между Иннокентием и Захаром с преподавателями, остальные — это все, что между преподавателями.
Так как условие — играть только с преподавателями, то пар между преподавателями: 6 пар.
Шаг 6: Игры между Петей и школьниками:
Петя — один из 10 школьников, остальные 9.
Петя играет только с школьниками, и он играет со всеми 9 (остальными школьниками).
Итого: 9 пар.
Шаг 7: Игры между остальными школьниками (кроме Пети) и всеми:
Остальные 9-1=8 школьников (не Петя).
Они играют со всеми: с 4 преподавателями и с Петей.
Также, возможно, между ними, но это попадает в категорию "игра со всеми".
Количество пар между этими 8 школьниками: C(8, 2) = 28.
Плюс, каждый из них — играет со всеми остальными, включая преподавателей и Петю.
Внутри группы: 8 школьников, пар: 28.
Каждый из них играет с 4 преподавателями: 4 игры на каждого, итого 8 человек × 4 = 32, но каждое такое сыгранное — парное, поэтому считаем как 4 пары для каждого из 8 школьников — итого 8×4=32 игр, но поскольку каждая пара считается раз и то же (например, А — преподаватель), то нужно избегать двойного подсчёта.
Поскольку мы считаем каждую уникальную игру только один раз, надо аккуратно подсчитать.
Итоговая схема подсчёта:
Давайте суммируем:
- преподаватели между собой: 6 пар
- Петя со всеми школьниками (кроме себя): 9 пар
- остальные школьники между собой (кроме Пети): 28 пар
- остальные школьники с преподавателями:
- Взаимодействие 8 школьников и 4 преподавателя: 8×4=32 игр, предполагая, что в каждой игре участвуют только два человека, то это 32 пар, которые считаем.
Итоговая сумма:
\[ 6 \text{ (преподаватели между собой)} + 9 \text{ (Петя со школьниками)} + 28 \text{ (школьники между собой)} + 32 \text{ (остальные школьники с преподавателями)} \]
Общая сумма:
\[ 6 + 9 + 28 + 32 = 75 \]
Ответ:
Общее количество сыгранных партий — 75.
Если есть какие-то уточнения или дополнительные условия — сообщите!
