В группе из 6 школьников нужно выбрать 3 человека, которые сделают проект по астрономии. В группе 3 мальчика (Костя, Ваня, Дима) и 3 девочки (Оля, Юля и Аня). Костя не дружит с Димой, Оля не дружит с Юлей, а Ваня может общаться только с одной девочкой – с Аней. Сколько существует вариантов составления команды из 3 человек для работы над проектом, если в команде обязательно должно быть 2 мальчика и 1 девочка?
Давайте решим задачу по шагам.
## Условия задачи:
- Всего 6 школьников: мальчики — Костя, Ваня, Дима; девочки — Оля, Юля, Аня.
- В команде из 3 человек обязательно должно быть 2 мальчика и 1 девочка.
- Дополнительные ограничения (дружба):
- Костя не дружит с Димой.
- Оля не дружит с Юлей.
- Ваня может общаться только с Аней (то есть Ваня может быть в команде только с Аней, если она есть, или не участвовать в команде с Ваней).
### Шаг 1: Варианты выбора мальчиков
Нам нужны 2 мальчика, и из них возможны группы, учитывая ограничения. Рассмотрим все возможные пары:
- (Костя, Ваня)
- (Костя, Дима)
- (Ваня, Дима)
Проверим ограничения:
- В паре (Костя, Ваня): нет противоречий.
- В паре (Костя, Дима): Костя не дружит с Димой — запрещено. Эта пара исключается.
- В паре (Ваня, Дима): нет противоречий.
Итак, возможные пары мальчиков:
1. (Костя, Ваня)
2. (Ваня, Дима)
### Шаг 2: Варианты выбора девочки
Нам нужно выбрать одну девочку из Оли, Юли и Ани, с учетом ограничений:
- Оля не дружит с Юлей — значит, эти двое не могут быть вместе в команде, если обе в команде (но у нас только одна девочка, так что это не критично).
- Ваня может общаться только с Аней, то есть, если в команде есть Ваня, то девочка должна быть Аня.
Разделим возможные ситуации:
#### Когда в команде есть Ваня:
- Девочка обязательно Аня (по условию, он может общаться только с ней).
#### Когда в команде есть Дима:
- Девочка может быть любой: Оля, Юля или Аня.
#### Когда в команде есть Костя (без Вани):
- Девочка может быть любой: Оля, Юля или Аня.
### Шаг 3: Формирование команд и подсчет вариантов
Итак, рассмотрим каждую пару мальчиков:
---
### Блок 1: (Костя, Ваня)
- Девочка: обязательно Аня (по условию).
Команда: {Костя, Ваня, Аня}.
Проверка дружбы:
- Костя не дружит с Димой — не в команде.
- Ваня может быть только с Аней — есть она в команде.
- Оля и Юля не в команде.
**Итого одна команда.**
---
### Блок 2: (Ваня, Дима)
- Девочка: может быть любой из Оли, Юли, Ани.
Рассчитаем все возможные команды:
- {Ваня, Дима, Оля}
- {Ваня, Дима, Юля}
- {Ваня, Дима, Аня}
Проверка дружбы:
- Ваня может общаться только с Аней — значит, команда с Юлей или Олей не подходит, так как в ней есть Ваня и эта девочка, но Ваня может общаться только с Аней, поэтому команды с Юлей или Олей исключены.
**Итак, из этих трех вариантов подходит только команда с Аней: {Ваня, Дима, Аня}.**
### Итог:
- Команда 1: {Костя, Ваня, Аня}
- Команда 2: {Ваня, Дима, Аня}
Обратите внимание, что обе команды содержат Ваню и Аню, а также соответствуют условиям.
## Ответ:
**Всего возможных вариантов — 2.**
— 1 вариант с (Костя, Ваня, Аня)
— 1 вариант с (Ваня, Дима, Аня)
**Итого: 2 команд.**
