На окружности с центром в точке О отмечены точки М и К так, что угол МОК=68 градусов. Длина меньшей дуги МК равна 102 найдите длину большей дуги.

Давайте решим задачу по шагам. **Дано:** - Общий круг с центром O. - Точки M и K на окружности. - Угол МОК = 68°. - Длина меньшей дуги МК равна 102 (предположим, что единицы — это длина дуги, например, сантиметры или радианы, важное — пропорциональность). **Что нужно найти:** - Длину большей дуги МК. --- ### Шаг 1. Понимание условий и ключевой идеи - У угол МОК — центральный, так как O — центр окружности, а M и K — точки на окружности. - Угол МОК равен 68°. - Дуга МК, которая соответствует углу 68°, — это меньшая дуга, поскольку она — "меньшая" по длине. ### Шаг 2. Связь между углом и длиной дуги - Длина дуги пропорциональна ее центральному углу. - Для окружности: \[ \text{Длина дуги} = \frac{\text{Угол в градусах}}{360^\circ} \times 2\pi R, \] где \( R \) — радиус окружности. - Все дуги, исходящие из одной точки имеют: - меньшую дугу, соответствующую 68°. - большую дугу — которую нужно найти. ### Шаг 3. Связь между дугами и углами - Угол МОК — это центральный угол, опирающийся на дугу МК. - В окружности сумма длины двух дуг, на которые делится окружность этой точкой, равна длине полной окружности: \[ \text{Полная дуга} = 360^\circ. \] - Меньшая дуга МК — соответствует углу 68°. - Большая дуга МК — соответствует углу, равному (360° – 68°) = 292°. ### Шаг 4. Связь между длинами дуг - Пусть: - \( l_{меньшая} \) — длина меньшей дуги МК = 102. - \( l_{большая} \) — длина большей дуги (которую нужно найти). - Пропорциональность дуг к их центральным углам: \[ \frac{l_{меньшая}}{102} = \frac{68^\circ}{360^\circ} \] \[ l_{большая} = \frac{292^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R \] Поскольку \( R \) — общий радиус, он одинаков для обеих дуг, и их длины связаны через пропорцию углов. ### Шаг 5. Определение радиуса \( R \) - По формуле: \[ l_{меньшая} = \frac{68^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R, \] подставим известное значение \( l_{меньшая} = 102 \): \[ 102 = \frac{68}{360} \times 2\pi R \] \[ 102 = \frac{17}{90} \times 2\pi R \] \[ 102 = \frac{17 \times 2\pi R}{90} \] \[ 102 \times 90 = 17 \times 2\pi R \] \[ 9180 = 34\pi R \] \[ R = \frac{9180}{34\pi} \] ### Шаг 6. Вычисление длины большой дуги - Длина большей дуги равна: \[ l_{большая} = \frac{292^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R \] - Подставим \( R \): \[ l_{большая} = \frac{292}{360} \times 2\pi \times \frac{9180}{34\pi} \] - Упростим: \[ l_{большая} = \frac{292}{360} \times 2 \times \frac{9180}{34} \] - Упростим дроби: \[ \frac{292}{360} = \frac{73}{90} \] \[ l_{большая} = \frac{73}{90} \times 2 \times \frac{9180}{34} \] - Посчитаем: \[ l_{большая} = \frac{73}{90} \times 2 \times \frac{9180}{34} \] Заметим, что \( 2 \times \frac{9180}{34} = \frac{18360}{34} \). - Тогда: \[ l_{большая} = \frac{73}{90} \times \frac{18360}{34} \] Сократим \( \frac{18360}{34} \): \[ 18360 ÷ 2 = 9180; \quad 34 ÷ 2 = 17 \] Значит: \[ \frac{18360}{34} = \frac{9180}{17} \] - Подставляем обратно: \[ l_{большая} = \frac{73}{90} \times \frac{9180}{17} \] - Упростим: \[ l_{большая} = \frac{73 \times 9180}{90 \times 17} \] - В числителе: \( 73 \times 9180 \): Пусть: \( 70 \times 9180 = 642600 \), \( 3 \times 9180 = 27540 \), итого \( 73 \times 9180 = 642600 + 27540 = 670140 \). - В знаменателе: \( 90 \times 17 = 1530 \). - Итог: \[ l_{большая} = \frac{670140}{1530} \] - Делим: \( 1530 \times 438 = 671 \times 1530 \), чуть больше, поэтому попробуем деление: \[ 670140 ÷ 1530 \approx 438. \] Проверим с точностью: \[ 1530 \times 438 = 1530 \times 400 + 1530 \times 38 = 612000 + 58140 = 670140. \] Да, деление точно! Значит: \[ l_{большая} = 438 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина большей дуги} = 438 } \] **ИТОГ:** Большая дуга МК равна **438**.