Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 j x j + ... + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1…
Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 j x j + ... + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 j x j + ... + a 2 n x n = b 2 , ............................................................. a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a i j x j + ... + a i n x n = b i , ............................................................. a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m j x j + ... + a m n x n = b m . Как называется следующая форма записи этой системы: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ A 1 X = b 1 , A 2 X = b 2 , ................ A m X = b m ?
Данная форма записи системы линейных уравнений называется матричной формой или матричным представлением системы уравнений.
Разберем подробнее:
В исходной записи у нас есть система из \(m\) уравнений и \(n\) неизвестных \(x_1, x_2, ..., x_n\). Каждое уравнение выглядит так:
\[ a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{ij}x_j + \dots + a_{in}x_n = b_i \]
Для компактного и удобного представления такую систему можно переписать в виде матриц:
Матрица коэффициентов — \(A\), размером \(m \times n\), состоящая из элементов \(a_{ij}\):
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \]
Вектор неизвестных \(X = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\).
Вектор свободных членов \(b = \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}\).
Тогда систему уравнений удобно записывать как матричное равенство:
\[ A X = b \]
В вашем случае, когда вы пишете:
\[ \begin{cases} A_1 X = b_1 \\ A_2 X = b_2 \\ \vdots \\ A_m X = b_m \end{cases} \]
— это тоже представляет собой систему уравнений в матричной форме, где каждая \(A_i\) может быть строкой матрицы \(A\), а каждый \(b_i\) — элемент вектора \(b\).
Итак, окончательный ответ:
Эта форма записи называется матричной формой системы линейных уравнений или кратко — матричная запись системы.
