Давайте разберемся с этим рядом по шагам.
Задача: исследовать сходимость ряда
[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}
]
Шаг 1. Запишем явно общий член ряда
Общий член:
[
a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}
]
Обратите внимание, что индексируем с ( n=0 ).
Шаг 2. Определим, при каких условиях рассматривается абсолютная сходимость
Рассмотрим абсолютный ряд:
[
\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}
]
Поскольку ((-1)^{n-1}) — просто знак, для абсолютной сходимости убираем его.
Шаг 3. Анализируем абсолютный ряд
[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}
]
Это очень похож на ряд, связанный с экспоненциальной функцией — он сходится.
Перепишем его через индекс (k = n+1):
[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}
]
Этот ряд известен и равен:
[
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e
]
Следовательно:
[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = e - 1
]
Это конечная сумма, значит, ряд по абсолютным значениям сходится.
Шаг 4. Вывод
Так как абсолютный ряд сходится, исходный ряд также сходится по абсолютному признаку.
Ответ: Ряд (\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}) сходится по абсолютному признаку.
Если нужен подробнее — объясню, почему именно.
