реши ряд на сходимость по абсолютному признаку сходимости (-1)^n-1 1/(n+1)!

Давайте разберемся с этим рядом по шагам.

Задача: исследовать сходимость ряда
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \]

Шаг 1. Запишем явно общий член ряда

Общий член:

\[ a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \]

Обратите внимание, что индексируем с \( n=0 \).

Шаг 2. Определим, при каких условиях рассматривается абсолютная сходимость

Рассмотрим абсолютный ряд:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} \]

Поскольку \((-1)^{n-1}\) — просто знак, для абсолютной сходимости убираем его.

Шаг 3. Анализируем абсолютный ряд

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} \]

Это очень похож на ряд, связанный с экспоненциальной функцией — он сходится.

Перепишем его через индекс \(k = n+1\):

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} \]

Этот ряд известен и равен:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e \]

Следовательно:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = e - 1 \]

Это конечная сумма, значит, ряд по абсолютным значениям сходится.

Шаг 4. Вывод

Так как абсолютный ряд сходится, исходный ряд также сходится по абсолютному признаку.

Ответ: Ряд \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}\) сходится по абсолютному признаку.

Если нужен подробнее — объясню, почему именно.