Решить весь вариант

Конечно! Вот пошаговые решения для всех задач из варианта: --- ### Задача 1: Решите неравенство \[ \frac{4x^2 - 64}{x + 7} < 0 \] **Шаг 1:** Разложим числитель: \[ 4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16) = 4(x - 4)(x + 4) \] **Шаг 2:** Область определения: \(x \neq -7\) **Шаг 3:** Изучим знак числителя и знаменателя: - **Числитель:** \((x - 4)(x + 4)\) - **Знаменатель:** \(x + 7\) **Шаг 4:** Разводим знак на интервалах, определяем знаки каждого множителя: | интервал | \(x < -7\) | \(-7 < x < -4\) | \(-4 < x < 4\) | \(x > 4\) | |---|---|---|---|---| | \(x + 7\) | отрицательное | положительное | положительное | положительное | | \(x - 4\) | отрицательное | отрицательное | отрицательное | положительное | | \(x + 4\) | отрицательное | отрицательное | положительное | положительное | **Шаг 5:** Значение числителя: - \((x - 4)\): отрицательное при \(x < 4\), положительное при \(x > 4\) - \((x + 4)\): отрицательное при \(x < -4\), положительное при \(x > -4\) **Шаг 6:** Область, где \ дробь<0: Знаковая комбинация: - числитель: отрицательный, делить на знак в знаменателе (может быть отрицательное или положительное). Самое важное — найти, где дробь отрицательна: ИТОГ: - \(\frac{4(x - 4)(x + 4)}{x + 7} < 0\) Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки: Области для этого: - \(x \in (-\infty, -7)\): числитель положителен или отрицателен? - делим интервал на части, исключая \(x = -7\). **Ответ:** \[ \boxed{ x \in (-\infty, -7) \cup (-4, 4) } \] (кроме точки \(x=-7\), так как деление на ноль запрещено). --- ### Задача 2: Решите неравенство \[ \log_4(3x + 1) < 2 \] **Шаг 1:** Заменим логарифм на неравенство: \[ \log_4(3x + 1) < 2 \] Это эквивалентно: \[ 3x + 1 < 4^2 = 16 \] **Шаг 2:** Решаем неравенство: \[ 3x + 1 < 16 \] \[ 3x < 15 \] \[ x < 5 \] **Шаг 3:** Условие на область определения логарифма: \[ 3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \] **Ответ:** \[ x \in \left( -\frac{1}{3}, 5 \right) \] --- ### Задача 3: Решите уравнение \[ \cos x + \sin \frac{\pi}{2} - x + \cos (\pi + x) = 0 \] **Шаг 1:** Упростим: \[ \cos x + \sin \frac{\pi}{2} + \cos (\pi + x) - x = 0 \] \[ \cos x + 1 + \cos (\pi + x) - x = 0 \] **Шаг 2:** Знак \(\cos (\pi + x) = - \cos x\) Подставим: \[ \cos x + 1 - \cos x - x = 0 \] \[ 1 - x = 0 \] \[ x = 1 \] **Ответ:** \[ \boxed{x = 1} \] --- ### Задача 4: Построить график Это задание — подразумевает построение графика функции, по условиям: - Область определения: \([-4, 4]\) - Интервал возрастания и убывания: уменьшение, по условию, функции, у нас есть точка экстремума, исходя из данных. Поскольку ответ требует графика, можно его нарисовать вручную или описать: - Область определения: \([-4; 4]\) - Функция убывает: на интервале \([-2; 1]\) - Имеет интервал возрастания: \([-4; -2]\) и \([1; 4]\) --- ### Остальные задачи (5-10): кратко --- ### Задача 5: Найдите все первообразные \(f(x) = x^5 + 8x\) Ответ: \[ F(x) = \frac{x^6}{6} + 4x^2 + C \] --- ### Задача 6: Вписать секцию в пирамиду — рисунки не могу составить, описать: секция через середины сторон оснований — это параллелограмм. --- ### Задача 7: Радиус основания — 4 см, высота — 2 см, диаметр — 8 см. Объем цилиндра: \[ V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 2 = 32 \pi \text{ см}^3 \] Площадь боковой поверхности: \[ S_b = 2 \pi r h = 2 \pi \times 4 \times 2 = 16 \pi \text{ см}^2 \] --- ### Задача 8: Диагональ меньшая: Диагональ меньшая боковой грани — равна гипотенузе треугольника с катетами 2 и 14: \[ d = \sqrt{2^2 + 14^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см} \] --- ### Задача 9: Решите уравнение \[ 2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \] Обозначим \(\sin x = t\): \[ 2 t^2 - 3 t + 1 = 0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \] - \(t_1 = 1\) - \(t_2 = \frac{1}{2}\) Для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Для \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] **Ответ:** \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] --- ### Задача 10: Найти максимум и минимум функции: \[ y = 2x^3 + 3x^2 + 3 \] **Шаг 1:** Производная: \[ y' = 6x^2 + 6x \] **Шаг 2:** Находим критические точки: \[ 6x^2 + 6x = 0 \] \[ 6x(x + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \] **Шаг 3:** Находим значения функции: - at \(x=0\): \(y=3\) - at \(x=-1\): \(y = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3 = -2 + 3 + 3= 4\) Теперь максимум — при \(x=-1\), минимум — при \(x=0\). --- Если нужны более подробные разборы по какой-либо задаче — скажите