Решить весь вариант
Конечно! Вот пошаговые решения для всех задач из варианта:
Задача 1: Решите неравенство
\[ \frac{4x^2 - 64}{x + 7} < 0 \]
Шаг 1: Разложим числитель:
\[
4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16) = 4(x - 4)(x + 4)
\]
Шаг 2: Область определения: \(x \neq -7\)
Шаг 3: Изучим знак числителя и знаменателя:
Числитель: \((x - 4)(x + 4)\)
Знаменатель: \(x + 7\)
Шаг 4: Разводим знак на интервалах, определяем знаки каждого множителя:
| интервал | \(x < -7\) | \(-7 < x < -4\) | \(-4 < x < 4\) | \(x > 4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x + 7\) | отрицательное | положительное | положительное | положительное |
| \(x - 4\) | отрицательное | отрицательное | отрицательное | положительное |
| \(x + 4\) | отрицательное | отрицательное | положительное | положительное |
Шаг 5: Значение числителя:
\((x - 4)\): отрицательное при \(x < 4\), положительное при \(x > 4\)
\((x + 4)\): отрицательное при \(x < -4\), положительное при \(x > -4\)
Шаг 6: Область, где \ дробь<0:
Знаковая комбинация:
- числитель: отрицательный, делить на знак в знаменателе (может быть отрицательное или положительное).
Самое важное — найти, где дробь отрицательна:
ИТОГ:
- \(\frac{4(x - 4)(x + 4)}{x + 7} < 0\)
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки:
Области для этого:
\(x \in (-\infty, -7)\): числитель положителен или отрицателен?
делим интервал на части, исключая \(x = -7\).
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-\infty, -7) \cup (-4, 4) } \] (кроме точки \(x=-7\), так как деление на ноль запрещено).
Задача 2: Решите неравенство
\[ \log_4(3x + 1) < 2 \]
Шаг 1: Заменим логарифм на неравенство:
\[ \log_4(3x + 1) < 2 \]
Это эквивалентно:
\[ 3x + 1 < 4^2 = 16 \]
Шаг 2: Решаем неравенство:
\[ 3x + 1 < 16 \] \[ 3x < 15 \] \[ x < 5 \]
Шаг 3: Условие на область определения логарифма:
\[ 3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \]
Ответ:
\[ x \in \left( -\frac{1}{3}, 5 \right) \]
Задача 3: Решите уравнение
\[ \cos x + \sin \frac{\pi}{2} - x + \cos (\pi + x) = 0 \]
Шаг 1: Упростим:
\[ \cos x + \sin \frac{\pi}{2} + \cos (\pi + x) - x = 0 \] \[ \cos x + 1 + \cos (\pi + x) - x = 0 \]
Шаг 2: Знак \(\cos (\pi + x) = - \cos x\)
Подставим:
\[ \cos x + 1 - \cos x - x = 0 \] \[ 1 - x = 0 \] \[ x = 1 \]
Ответ:
\[ \boxed{x = 1} \]
Задача 4: Построить график
Это задание — подразумевает построение графика функции, по условиям:
Область определения: \([-4, 4]\)
Интервал возрастания и убывания: уменьшение, по условию, функции, у нас есть точка экстремума, исходя из данных.
Поскольку ответ требует графика, можно его нарисовать вручную или описать:
Область определения: \([-4; 4]\)
Функция убывает: на интервале \([-2; 1]\)
Имеет интервал возрастания: \([-4; -2]\) и \([1; 4]\)
Остальные задачи (5-10): кратко
Задача 5: Найдите все первообразные \(f(x) = x^5 + 8x\)
Ответ:
\[ F(x) = \frac{x^6}{6} + 4x^2 + C \]
Задача 6: Вписать секцию в пирамиду — рисунки не могу составить, описать: секция через середины сторон оснований — это параллелограмм.
Задача 7: Радиус основания — 4 см, высота — 2 см, диаметр — 8 см.
Объем цилиндра:
\[ V = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 2 = 32 \pi \text{ см}^3 \]
Площадь боковой поверхности:
\[ S_b = 2 \pi r h = 2 \pi \times 4 \times 2 = 16 \pi \text{ см}^2 \]
Задача 8: Диагональ меньшая:
Диагональ меньшая боковой грани — равна гипотенузе треугольника с катетами 2 и 14:
\[ d = \sqrt{2^2 + 14^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см} \]
Задача 9: Решите уравнение
\[ 2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \]
Обозначим \(\sin x = t\):
\[ 2 t^2 - 3 t + 1 = 0 \]
Решим квадратичное уравнение:
\[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} \]
\(t_1 = 1\)
\(t_2 = \frac{1}{2}\)
Для \(\sin x = 1\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
Для \(\sin x = \frac{1}{2}\):
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
Ответ:
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
Задача 10: Найти максимум и минимум функции:
\[ y = 2x^3 + 3x^2 + 3 \]
Шаг 1: Производная:
\[ y' = 6x^2 + 6x \]
Шаг 2: Находим критические точки:
\[ 6x^2 + 6x = 0 \] \[ 6x(x + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Шаг 3: Находим значения функции:
- at \(x=0\): \(y=3\)
- at \(x=-1\): \(y = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3 = -2 + 3 + 3= 4\)
Теперь максимум — при \(x=-1\), минимум — при \(x=0\).
Если нужны более подробные разборы по какой-либо задаче — скажите
