Угол между образующей и плоскостью основания конуса 60° . Радиус его основания 3 м. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Угол между образующей и плоскостью основания конуса, \( \alpha = 60^\circ \)
- Радиус основания конуса, \( r = 3 \) м
Найти: площадь боковой поверхности конуса.
Шаг 1: Найдём длину образующей \( l \)
В конусе образующая \( l \), высота \( h \) и радиус основания связаны следующим образом:
- \( \cos \alpha = \frac{h}{l} \)
- \( \sin \alpha = \frac{r}{l} \)
Также есть ещё зависимость:
\[ l = \frac{r}{\sin \alpha} \]
Подставим известные значения:
\[ l = \frac{3}{\sin 60^\circ} \]
Значение \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда:
\[ l = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \]
Ответ: длина образующей \( l = 2\sqrt{3} \) м.
Шаг 2: Найдём высоту \( h \)
Используя отношение:
\[ h = l \cos \alpha \]
Где \( \cos 60^\circ = 0.5 \). Тогда:
\[ h = 2\sqrt{3} \times 0.5 = \sqrt{3} \]
Ответ: высота \( h = \sqrt{3} \) м.
Шаг 3: Рассчитаем площадь боковой поверхности \( S_b \)
Формула площади боковой поверхности конуса:
\[ S_b = \pi r l \]
Подставим значения:
\[ S_b = \pi \times 3 \times 2\sqrt{3} = 6\pi \sqrt{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ S_b = 6\pi \sqrt{3} \text{ кв. м} } \]
Если нужно, можно оставить ответ в числовом виде:
\[ \pi \approx 3.1416, \quad \sqrt{3} \approx 1.732 \]
Тогда:
\[ S_b \approx 6 \times 3.1416 \times 1.732 \approx 6 \times 3.1416 \times 1.732 \approx 32.55 \text{ м}^2 \]
Если есть что-то непонятное или нужно детальнее — спрашивайте!
