Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- Угол между образующей и плоскостью основания конуса, ( \alpha = 60^\circ )
- Радиус основания конуса, ( r = 3 ) м
Найти: площадь боковой поверхности конуса.
Шаг 1: Найдём длину образующей ( l )
В конусе образующая ( l ), высота ( h ) и радиус основания связаны следующим образом:
- ( \cos \alpha = \frac{h}{l} )
- ( \sin \alpha = \frac{r}{l} )
Также есть ещё зависимость:
[
l = \frac{r}{\sin \alpha}
]
Подставим известные значения:
[
l = \frac{3}{\sin 60^\circ}
]
Значение ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда:
[
l = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
]
Ответ: длина образующей ( l = 2\sqrt{3} ) м.
Шаг 2: Найдём высоту ( h )
Используя отношение:
[
h = l \cos \alpha
]
Где ( \cos 60^\circ = 0.5 ). Тогда:
[
h = 2\sqrt{3} \times 0.5 = \sqrt{3}
]
Ответ: высота ( h = \sqrt{3} ) м.
Шаг 3: Рассчитаем площадь боковой поверхности ( S_b )
Формула площади боковой поверхности конуса:
[
S_b = \pi r l
]
Подставим значения:
[
S_b = \pi \times 3 \times 2\sqrt{3} = 6\pi \sqrt{3}
]
Ответ:
[
\boxed{
S_b = 6\pi \sqrt{3} \text{ кв. м}
}
]
Если нужно, можно оставить ответ в числовом виде:
[
\pi \approx 3.1416, \quad \sqrt{3} \approx 1.732
]
Тогда:
[
S_b \approx 6 \times 3.1416 \times 1.732 \approx 6 \times 3.1416 \times 1.732 \approx 32.55 \text{ м}^2
]
Если есть что-то непонятное или нужно детальнее — спрашивайте!
