найдите интеграл с 1 по 2 (6х²-4х+3)dx
Конечно! Рассмотрим задачу: найти определённый интеграл функции \(6x^2 - 4x + 3\) по интервалу от 1 до 2.
Шаг 1: Найдём первообразную функции \(6x^2 - 4x + 3\)
Чтобы найти определённый интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл (первообразную). Для этого возьмём каждое слагаемое по отдельности и интегрируем:
. \[ \int (6x^2 - 4x + 3) dx = \int 6x^2 dx - \int 4x dx + \int 3 dx \]
Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое
- \(\int 6x^2 dx\):
Используем формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\), для \(6x^2\):
\[ 6 \int x^2 dx = 6 \times \frac{x^{3}}{3} = 6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3 \]
\(\int 4x dx\):
\[ 4 \times \frac{x^2}{2} = 2x^2 \]\(\int 3 dx\):
\[ 3x \]
Шаг 3: Запишем первообразную
Общий вид первообразной:
\[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]
Нас это не устраивает, так как при вычислении определённого интеграла тяжело учитывать произвольную константу \(C\), её при вычислении определённых интегралов можно игнорировать.
Шаг 4: Вычислим определённый интеграл \(\int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx\)
\[ \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx = F(2) - F(1) \]
Подставим значения:
\(F(2) = 2 \times 2^3 - 2 \times 2^2 + 3 \times 2\)
\[ 2 \times 8 - 2 \times 4 + 6 = 16 - 8 + 6 = 14 \]
\(F(1) = 2 \times 1^3 - 2 \times 1^2 + 3 \times 1\)
\[ 2 - 2 + 3 = 3 \]
Итог:
\[ \boxed{ \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx = 14 - 3 = 11 } \]
Ответ:
Значение определённого интеграла равно 11.
