Найдите интеграл с 1 по 2 (6х²-4х+3)dx

Конечно! Рассмотрим задачу: найти определённый интеграл функции \(6x^2 - 4x + 3\) по интервалу от 1 до 2. --- ### Шаг 1: Найдём первообразную функции \(6x^2 - 4x + 3\) Чтобы найти определённый интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл (первообразную). Для этого возьмём каждое слагаемое по отдельности и интегрируем: \. \[ \int (6x^2 - 4x + 3) dx = \int 6x^2 dx - \int 4x dx + \int 3 dx \] --- ### Шаг 2: Интегрируем каждое слагаемое 1. \(\int 6x^2 dx\): Используем формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\), для \(6x^2\): \[ 6 \int x^2 dx = 6 \times \frac{x^{3}}{3} = 6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3 \] 2. \(\int 4x dx\): \[ 4 \times \frac{x^2}{2} = 2x^2 \] 3. \(\int 3 dx\): \[ 3x \] --- ### Шаг 3: Запишем первообразную Общий вид первообразной: \[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \] Нас это не устраивает, так как при вычислении определённого интеграла тяжело учитывать произвольную константу \(C\), её при вычислении определённых интегралов можно игнорировать. --- ### Шаг 4: Вычислим определённый интеграл \(\int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx\) \[ \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx = F(2) - F(1) \] Подставим значения: - \(F(2) = 2 \times 2^3 - 2 \times 2^2 + 3 \times 2\) \[ 2 \times 8 - 2 \times 4 + 6 = 16 - 8 + 6 = 14 \] - \(F(1) = 2 \times 1^3 - 2 \times 1^2 + 3 \times 1\) \[ 2 - 2 + 3 = 3 \] --- ### Итог: \[ \boxed{ \int_{1}^{2} (6x^2 - 4x + 3) dx = 14 - 3 = 11 } \] --- ### **Ответ:** **Значение определённого интеграла равно 11.**