Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=1+x² , y=0, x=0,x=2

Давайте подробно разберем задачу по вычислению площади фигуры, ограниченной заданными линиями:

• \( y = 1 + x^2 \)
• \( y = 0 \) (ось x)
• \( x = 0 \) (ось y)
• \( x = 2 \)

Шаг 1. Визуализация и описание фигуры

Фигура ограничена:

• слева — по линии \( x=0 \),
• справа — по линии \( x=2 \),
• снизу — по оси \( y=0 \),
• сверху — по параболе \( y = 1 + x^2 \).

Очевидно, это область под параболой от \( x=0 \) до \( x=2 \), и между этой параболой и осью \( y=0 \).

Шаг 2. Запись выражения для площади

Площадь ограниченной области можно найти, проинтегрировав верхнюю функцию \( y = 1 + x^2 \) по \( x \) от 0 до 2, поскольку под областью с нижней границей \( y=0 \):

\[ S = \int_{x=0}^{x=2} (высота) \, dx = \int_{0}^{2} (1 + x^2) \, dx \]

Шаг 3. Вычисление интеграла

Рассчитаем:

\[ S = \int_{0}^{2} 1 \, dx + \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]

По отдельности:

• \(\int_{0}^{2} 1 \, dx = [x]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2\)

• \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}\)

Теперь сложим оба результата:

\[ S = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} \]

Итог:

Ответ: Площадь фигуры равна \(\boxed{\frac{14}{3}}\) квадратных единиц.

Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор, сообщите!