Давайте подробно разберем задачу по вычислению площади фигуры, ограниченной заданными линиями:
- ( y = 1 + x^2 )
- ( y = 0 ) (ось x)
- ( x = 0 ) (ось y)
- ( x = 2 )
Шаг 1. Визуализация и описание фигуры
Фигура ограничена:
- слева — по линии ( x=0 ),
- справа — по линии ( x=2 ),
- снизу — по оси ( y=0 ),
- сверху — по параболе ( y = 1 + x^2 ).
Очевидно, это область под параболой от ( x=0 ) до ( x=2 ), и между этой параболой и осью ( y=0 ).
Шаг 2. Запись выражения для площади
Площадь ограниченной области можно найти, проинтегрировав верхнюю функцию ( y = 1 + x^2 ) по ( x ) от 0 до 2, поскольку под областью с нижней границей ( y=0 ):
[
S = \int_{x=0}^{x=2} (высота) , dx = \int_{0}^{2} (1 + x^2) , dx
]
Шаг 3. Вычисление интеграла
Рассчитаем:
[
S = \int_{0}^{2} 1 , dx + \int_{0}^{2} x^2 , dx
]
По отдельности:
(\int_{0}^{2} 1 , dx = [x]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2)
(\int_{0}^{2} x^2 , dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3})
Теперь сложим оба результата:
[
S = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}
]
Итог:
Ответ: Площадь фигуры равна (\boxed{\frac{14}{3}}) квадратных единиц.
Если есть дополнительные вопросы или нужен более подробный разбор, сообщите!
