Пожарный поезд прошел расстояние 17 км между двумя станциями со средней скоростью 60 км/ч. При этом на разгон в начале движения и торможения перед остановкой ушло в общей…
Пожарный поезд прошел расстояние 17 км между двумя станциями со средней скоростью 60 км/ч. При этом на разгон в начале движения и торможения перед остановкой ушло в общей сложности 4 мин, а остальное время поезд двигался с постоянной скоростью. Чему равна эта скорость?
Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждую часть.
Дано:
- Расстояние между станциями, \( S = 17 \text{ км} \)
- Средняя скорость по всему пути, включая ускорение и торможение, — не указана.
- Средняя скорость во время постоянного движения — \( v_{\text{постоянная}} = 60 \text{ км/ч} \)
- Общее время, потраченное на разгон и торможение, — \( t_1 + t_3 = 4 \text{ мин} \)
- Остальное время — время движения с постоянной скоростью.
Нам нужно найти:
Скорость во время постоянного движения (то есть, когда поезд движется с постоянной скоростью), обозначим её как \( V \).
Шаг 1. Пусть общее время пути — \( T \)
Общее время делится на две части:
- Время на разгон и торможение: \( t_1 + t_3 = 4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч} \)
- Время при постоянной скорости: \( t_2 = T - \frac{1}{15} \)
Шаг 2. Запишем путь, пройденный за разные этапы
Общая длина пути — 17 км.
Общий путь можно представить как сумму пути на разгон, торможение и движение с постоянной скоростью.
- Пусть на разгон (ускорение) и торможение уйдёт по равным промежуткам времени (обычно в задачах предполагается, что разгон и торможение занимают одинаковое время, если не указано иначе).
- Тогда время на разгон: \( t_{\text{разгон}} = t_1 = \frac{1}{30} \text{ ч} \)
- Время на торможение: \( t_3 = \frac{1}{30} \text{ ч} \)
Поскольку сумма их — \( \frac{1}{15} \) ч, распределим равномерно.
Шаг 3. Средняя скорость разгона и торможения и их влияние на путь
Для упрощения примем, что в момент разгона и торможения скорость меняется равномерно:
- В начале разгона скорость \( u = 0 \) (предположим, что поезд стартует с покоя)
- В конце разгона достигает скорости \( V_r \)
- Перед торможением поезд движется с скоростью \( V_r \), затем тормозит до полной остановки.
Чтобы найти \( V_r \), нужно знать характер изменения скорости — обычно в таких задачах предполагается линейное изменение скорости:
- За время \( t_{\text{разгон}} \) разгоняется с 0 до \( V_r \),
- За время \( t_3 \) тормозится с \( V_r \) до 0.
Шаг 4. Время движения с постоянной скоростью
Обозначим \( t_2 = T - \frac{1}{15} \) — время, когда поезд двигался с постоянной скоростью \( V \).
Шаг 5. Запишем выражение для пути
Общий путь — сумма пути за все части:
\[ S = \text{Путь разгона} + \text{Путь постоянной скорости} + \text{Путь торможения} \]
Если предположить, что разгон и торможение — это равномерное изменение скорости, то:
- Путь на разгон:
\[ S_{\text{разгон}} = \frac{1}{2} a t_{\text{разгон}}^2 \]
- Аналогично для торможения.
Но для удобства в задачах такого типа часто используют упрощение, беря, например, среднюю скорость при разгоняющемся движении, чтобы вычислить путь.
Шаг 6. Упрощение и принятие условий
Для решения задачи обычно используют следующую модель:
- Время разгона и торможения — равное,
- Скорость в конце разгона — \( V_r \), которая и считается скоростью при постоянных движениях.
Пусть разгон и торможение занимают по \( t_{\text{разгон}} = t_{\text{торможение}} = 2 \мин \) (~, т.к. всего 4 мин).
Тогда:
\[ V_r = a t_{\text{разгон}} = a \times 2/60 \text \ч \]
или — поскольку у нас нет данных о ускорении, сделаем предположение, что средняя скорость на разгонении (ускорение и торможение) — полусумма начальной и конечной скоростей, а финальная — \( V \), которые и есть искомая скорость с постоянным движением.
Итоговые вычисления:
Если предположить, что поезд разгонялся и тормозил равномерно и симметрично, тогда путь, пройденный за разгон и торможение, можно выразить через \( V \):
- Путь за разгон:
\[ S_{\text{разгон}} = \frac{1}{2} V \times t_{\text{разгон}} = \frac{1}{2} V \times \frac{2}{60} = \frac{V}{60} \]
- Аналогично за торможение:
\[ S_{\text{тормож}} = \frac{V}{60} \]
- Следовательно, суммарный путь на разгон и торможение:
\[ S_{\text{разгон+торможение}} = \frac{V}{60} + \frac{V}{60} = \frac{2V}{60} = \frac{V}{30} \]
- Остальной путь — это путь на постоянной скорости \( V \) за время \( t_2 = T - \frac{1}{15} \):
\[ S_{\text{постоянная}} = V \times t_2 \]
Общий путь:
\[ 17 = \frac{V}{30} + V \times t_2 \]
Общее время для всей поездки:
\[ T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{15} + t_2 \]
Из этого:
\[ t_2 = T - \frac{1}{15} \]
Шаг 7. Время пути и решение
Мы считаем, что средняя скорость = 60 км/ч — это средняя за весь путь, то есть:
\[ \frac{\text{Общий путь}}{\text{Общее время}} = 60 \]
Общее время:
\[ T = \frac{17}{60} \text{ ч} \approx 0.2833 \text{ ч} \]
Тогда:
\[ t_2 = T - \frac{1}{15} = 0.2833 - 0.0667 = 0.2167 \text{ ч} \]
Теперь можем подставить в уравнение для пути:
\[ 17 = \frac{V}{30} + V \times 0.2167 \]
Вынесем \( V \) за скобки:
\[ 17 = V \left( \frac{1}{30} + 0.2167 \right) \]
\[ 17 = V \left( 0.0333 + 0.2167 \right) = V \times 0.25 \]
Следовательно:
\[ V = \frac{17}{0.25} = 68 \text{ км/ч} \]
Ответ:
Скорость движения по постоянной части пути равна 68 км/ч.
