Математический маятник имеет длину нити 0,5м. Какую скорость приобретает маятник в нижней точке траектории, если его амплитуда колебания 50см? Ускорение свободного падения принять…

Давайте решим задачу по шагам, объясняя каждый этап.

Дано:

• Длина нитки маятника \( l = 0,5\, \text{м} \)
• Амплитуда колебаний \( A = 50\, \textсм = 0,5\, \text{м} \)
• Ускорение свободного падения \( g = 10\, \text{м/с}^2 \)

Шаг 1: Понимание задачи

Маятник совершается колебаниями, при которых в нижней точке книзу его потенциальная энергия меньше, чем в верхней точке, а кинетическая — максимально. Нам нужно найти скорость в нижней точке.

Шаг 2: Принципы решения

Используем закон сохранения энергии:

• В верхней точке (амплитуда): потенциальная энергия максимальна, кинетическая — равна нулю.
• В нижней точке: потенциальной энергии практически нет (если считать уровень равновесия за ноль), а кинетическая — максимально.

Обозначим:

• \( h \) — высота подъема маятника в верхней точке относительно нижней точки.
• В верхней точке у маятника есть потенциальная энергия и отсутствует кинетическая.
• В нижней точке у маятника — максимальная кинетическая энергия, потенциальной — почти ноль.

Шаг 3: Нахождение высоты подъема \( h \)

Высота подъема маятника равна высоте, на которую он поднимается вверх за счет амплитуды.

Высота подъема для маятника при колебаниях через угол или по длине:
\[ h = l - \text{длина радиуса } R \]
где \( R \) — вертикальная компонента амплитуды.

Но проще: так как амплитуда равна \( A \), и она измеряется по вертикали (предположим, колебания происходят в вертикальной плоскости), высота подъема — это разница между максимальным и уровнем равновесия.

Поскольку амплитуда задается как 0,5 м — это максимальное смещение от равновесия, то высота подъема:
\[ h = A = 0,5\, \text{м} \]

Шаг 4: Закон сохранения энергии

На верхней точке: энергия — потенциальная, равна \( E_p = m g h \).

На нижней точке: энергия — кинетическая \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \).

По закону сохранения энергии:
\[ m g h = \frac{1}{2} m v^2 \]

Масса \( m \) сокращается:
\[ g h = \frac{1}{2} v^2 \]

Отсюда:
\[ v = \sqrt{2 g h} \]

Шаг 5: Расчет скорости \( v \)

Подставим значения:
\[ v = \sqrt{2 \times 10\, \text{м/с}^2 \times 0,5\, \text{м}} = \sqrt{2 \times 10 \times 0,5} \]

Посчитаем внутри корня:
\[ 2 \times 10 \times 0,5 = 2 \times 5 = 10 \]

Следовательно:
\[ v = \sqrt{10} \approx 3,16\, \text{м/с} \]

Ответ:

Скорость маятника в нижней точке траектории равна примерно 3,2 м/с (округленно до десятых).