Давайте решим задачу по шагам, объясняя каждый этап.
Дано:
- Длина нитки маятника ( l = 0,5, \text{м} )
- Амплитуда колебаний ( A = 50, \textсм = 0,5, \text{м} )
- Ускорение свободного падения ( g = 10, \text{м/с}^2 )
Шаг 1: Понимание задачи
Маятник совершается колебаниями, при которых в нижней точке книзу его потенциальная энергия меньше, чем в верхней точке, а кинетическая — максимально. Нам нужно найти скорость в нижней точке.
Шаг 2: Принципы решения
Используем закон сохранения энергии:
- В верхней точке (амплитуда): потенциальная энергия максимальна, кинетическая — равна нулю.
- В нижней точке: потенциальной энергии практически нет (если считать уровень равновесия за ноль), а кинетическая — максимально.
Обозначим:
- ( h ) — высота подъема маятника в верхней точке относительно нижней точки.
- В верхней точке у маятника есть потенциальная энергия и отсутствует кинетическая.
- В нижней точке у маятника — максимальная кинетическая энергия, потенциальной — почти ноль.
Шаг 3: Нахождение высоты подъема ( h )
Высота подъема маятника равна высоте, на которую он поднимается вверх за счет амплитуды.
Высота подъема для маятника при колебаниях через угол или по длине:
[ h = l - \text{длина радиуса } R ]
где ( R ) — вертикальная компонента амплитуды.
Но проще: так как амплитуда равна ( A ), и она измеряется по вертикали (предположим, колебания происходят в вертикальной плоскости), высота подъема — это разница между максимальным и уровнем равновесия.
Поскольку амплитуда задается как 0,5 м — это максимальное смещение от равновесия, то высота подъема:
[
h = A = 0,5, \text{м}
]
Шаг 4: Закон сохранения энергии
На верхней точке: энергия — потенциальная, равна ( E_p = m g h ).
На нижней точке: энергия — кинетическая ( E_k = \frac{1}{2} m v^2 ).
По закону сохранения энергии:
[
m g h = \frac{1}{2} m v^2
]
Масса ( m ) сокращается:
[
g h = \frac{1}{2} v^2
]
Отсюда:
[
v = \sqrt{2 g h}
]
Шаг 5: Расчет скорости ( v )
Подставим значения:
[
v = \sqrt{2 \times 10, \text{м/с}^2 \times 0,5, \text{м}} = \sqrt{2 \times 10 \times 0,5}
]
Посчитаем внутри корня:
[
2 \times 10 \times 0,5 = 2 \times 5 = 10
]
Следовательно:
[
v = \sqrt{10} \approx 3,16, \text{м/с}
]
Ответ:
Скорость маятника в нижней точке траектории равна примерно 3,2 м/с (округленно до десятых).
