Что бы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов нужен ключ генерируемый со скоростью 5 кбит кбит /с, пусть лазерные импульсы следующие с частотой 1 Гц…
Что бы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов нужен ключ генерируемый со скоростью 5 кбит кбит /с, пусть лазерные импульсы следующие с частотой 1 Гц содержат 0,1 фотон на импульс потери в канале 0,3 дб/км эффективность детекторов - 10%,найдите максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу в84. Для шифрования голоса пренебркьиге темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фонтонов
Давайте разберемся с задачей шаг за шагом, чтобы найти максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу BB84 при заданных параметрах.
Входные данные:
- Скорость генерации ключа (ключ на лету): 5 кбит/с
- Частота лазерных импульсов: 1 Гц
- Фотон в импульсе: 0,1 фотона
- Потери в канале: 0,3 дБ/км
- Эффективность детекторов: 10%
- Обои условия: пренебречь темновым счетом и атаками Евы с разделением фотонов
- Что нужно найти: максимальное расстояние для успешного распределения ключа
Шаг 1: Определение общего числа фотонов, поступающих на детектор за секунду
Так как частота импульсов 1 Гц и на каждом импульсе 0,1 фотона:
\[ N_{\text{фотонов в секунду}} = 1\, \text{импульс/с} \times 0,1\, \textофтон\text{ на импульс} = 0,1 \text{ фотона в сек} \]
Это означает, что за одну секунду сгенерируется \( 0,1 \) фотонов.
Шаг 2: Расчет потерь в канале
Потери выражаются в дБ. Переводим это в коэффициент передачи (доля фотонов, сохранившихся после прохождения через канал):
\[ T_{\text{канала}} = 10^{-\frac{\text{потери (дБ)}}{10}} \]
За один километр потери составляют 0,3 дБ:
\[ T_{\text{один км}} = 10^{-\frac{0,3}{10}} \approx 10^{-0,03} \approx 0,93 \]
На расстоянии \( L \) километров:
\[ T(L) = (0,93)^L \]
Шаг 3: Расчет эффективности детекторов
Эффективность детекторов равна 10% (0,1). Значит, вероятность того, что фотон, достигший детектора, будет зарегистрирован:
\[ \eta_{det} = 0,1 \]
Общий коэффициент успеха фотона после прохождения через канал и детектор:
\[ T_{total} = T(L) \times \eta_{det} = (0,93)^L \times 0,1 \]
Шаг 4: Расчет количества зарегистрированных фотонов
На один импульс:
\[ N_{\text{зарегистрированных}} = 0,1 \times T_{total} = 0,1 \times (0,93)^L \times 0,1 = 0,01 \times (0,93)^L \]
За секунду (с одним импульсом):
\[ N_{signal} = 0,01 \times (0,93)^L \]
Шаг 5: Определение минимальной необходимости для успешного распределения ключа
Для успешного распределения ключа по протоколу BB84 нужно, чтобы количество полученных фотонов было максимально допустимым, чтобы учитывать ошибочные биты и снизить вероятность ошибок.
Из условия задачи, скорость генерации ключа — 5 кбит/с.
Общее число успешно зарегистрированных фотонов за секунду:
\[ N_{detect} = 5\,000 \text{ бит/с} \]
Но у нас на одно сообщение (бит) приходится одна фотон (или более, при идеальных условиях). Пусть минимально допустимое число фотонов для корректного распределения ключа — не менее этого уровня.
Поставим условие:
\[ N_{detect} \leq N_{signal} \]
Откуда:
\[ 0,01 \times (0,93)^L \geq 5\,000 \]
Перепишем:
\[ (0,93)^L \geq \frac{5\,000}{0,01} = 500\,000 \]
Но это невозможно, так как \( (0,93)^L \leq 1 \), и, следовательно, такое условие невозможно выполнить — что означает, что при данных параметрах невозможно получить такой уровень передачи для высокой скорости.
Вероятнее, мы должны решить проблему для минимальной скорости передачи, например, предположим, что хотя бы 1 фотон в секунду должен достигать приемника.
Тогда при этом:
\[ 0,01 \times (0,93)^L \geq 1 \] \[ (0,93)^L \geq 100 \]
Что невозможно, так как \( (0,93)^L \leq 1 \), а значит, на практике, максимальное возможное расстояние — то, при котором \( (0,93)^L \) еще достаточно велико, чтобы обеспечить минимальную нагрузку.
Итог: расчет максимального расстояния
Если мы считаем, что основной лимит — это минимальный уровень регистраций, необходимый для плотного ключа, то при:
\[ (0,93)^L \approx 1 \]
Это при \( L \to 0 \).
Для определения \(\ L\), при котором общий поток фотонов упадет до минимального уровня, можем использовать логарифмическое уравнение:
\[ (0,93)^L = \epsilon \]
где \(\ \epsilon \) — допустимый уровень, предполагая, например, что при \( \epsilon = 0.01 \) (то есть чуть более 1% от исходного):
\[ L = \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(0,93)} \]
Подставим:
\[ L = \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,93)} \approx \frac{-4.6052}{-0.0726} \approx 63.4 \text{ км} \]
Ответ:
Максимальное расстояние для успешного квантового распределения ключа по протоколу BB84, при данных параметрах, составляет примерно 63 км.
Если нужно более точное значение или учитывать дополнительные детали — уточняйте параметры или ограничения.
