Решите уравнение.

Дана задача — это квадратное уравнение, которое нужно решить относительно переменной \( x \): \[ x(x^2 + 6x + 9) = 4(x + 3). \] Шаг 1: Раскройте скобки и упростите обе части уравнения. Левая часть: \( x(x^2 + 6x + 9) \). - Раскройте скобки: \( x \cd0х^2 + 6x^2 + 9x \). - Получается: \( x^3 + 6x^2 + 9x \). Правая часть: \( 4(x + 3) \): - Раскройте скобки: \( 4x + 12 \). Теперь уравнение выглядит так: \[ x^3 + 6x^2 + 9x = 4x + 12. \] Шаг 2: Перенесите все члены в левую сторону, чтобы уравнение было равно нулю: \[ x^3 + 6x^2 + 9x - 4x - 12 = 0, \] что упрощается до: \[ x^3 + 6x^2 + 5x - 12 = 0. \] Шаг 3: Найдите рациональные корни уравнения. Для этого можно использовать теорему Вьета и проверить делители свободного члена (-12). Делители -12: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Проверим подстановкой эти значения: **Когда \( x = 1 \):** \[ 1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0. \] Уравнение выполняется, значит, \( x=1 \) — корень. **Когда \( x = -2 \):** \[ (-2)^3 + 6(-2)^2 + 5(-2) - 12 = -8 + 6 \times 4 - 10 - 12 = -8 + 24 - 10 - 12 = -6 \neq 0. \] Не подходит. Проверим остальные делители: \( x = 2 \): \[ 8 + 6 \times 4 + 10 - 12 = 8 + 24 + 10 - 12 = 30 \neq 0. \] \( x = -3 \): \[ -27 + 6 \times 9 - 15 - 12 = -27 + 54 - 15 - 12 = 0. \] Значит, \( x = -3 \) — корень. Проверим остальные: \( x=4 \): \[ 64 + 6 \times 16 + 20 - 12 = 64 + 96 + 20 - 12 = 168 \neq 0. \] \( x=-1 \): \[ -1 + 6 \times 1 - 5 - 12 = -1 + 6 - 5 - 12 = -12 \neq 0. \] Таким образом, корни — это \( x=1 \) и \( x=-3 \). Шаг 4: Разложите кубическое уравнение на множители, зная корни \( x=1 \) и \( x=-3 \). Используйте деление многочлена на \((x-1)\): \((x^3 + 6x^2 + 5x - 12) \div (x-1)\). Деление: - Первый коэффициент: делим \(x^3\) на \(x\): получаем \(x^2\). - Умножаем: \(x^2(x-1) = x^3 - x^2\). - Вычитаем: \((x^3 + 6x^2 + 5x - 12) - (x^3 - x^2) = 7x^2 + 5x - 12\). Далее делим \(7x^2\) на \(x\): получаем \(7x\). - Умножаем: \(7x(x-1) = 7x^2 - 7x\). - Вычитаем: \((7x^2 + 5x - 12) - (7x^2 - 7x) = 12x - 12\). Делим \(12x\) на \(x\): получаем 12. - Умножаем: \(12(x - 1) = 12x - 12\). Вычитаем: \((12x - 12) - (12x - 12) = 0\). Значит, деление точно произошло, и: \[ x^3 + 6x^2 + 5x - 12 = (x - 1)(x^2 + 7x + 12). \] Разложим квадратный трёхчлен: \[ x^2 + 7x + 12 = 0. \] Решим его через дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1. \] Корни: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 \pm 1}{2}. \] - \( x = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \). - \( x = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \). Общая запись корней уравнения: \( x=1 \), \( x=-3 \), \( x=-4 \). Однако отметим, что \( x = -3 \) уже был получен ранее, и это не противоречит. **Ответ:** \[ \boxed{ x = 1, \quad x=-3, \quad x=-4. } \] Если нужны более подробные объяснения — обращайтесь!