Решите уравнение.

Дана задача — это квадратное уравнение, которое нужно решить относительно переменной \( x \):

\[ x(x^2 + 6x + 9) = 4(x + 3). \]

Шаг 1: Раскройте скобки и упростите обе части уравнения.

Левая часть: \( x(x^2 + 6x + 9) \).

• Раскройте скобки: \( x \cd0х^2 + 6x^2 + 9x \).
• Получается: \( x^3 + 6x^2 + 9x \).

Правая часть: \( 4(x + 3) \):

• Раскройте скобки: \( 4x + 12 \).

Теперь уравнение выглядит так:

\[ x^3 + 6x^2 + 9x = 4x + 12. \]

Шаг 2: Перенесите все члены в левую сторону, чтобы уравнение было равно нулю:

\[ x^3 + 6x^2 + 9x - 4x - 12 = 0, \]

что упрощается до:

\[ x^3 + 6x^2 + 5x - 12 = 0. \]

Шаг 3: Найдите рациональные корни уравнения. Для этого можно использовать теорему Вьета и проверить делители свободного члена (-12).

Делители -12: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\).

Проверим подстановкой эти значения:

Когда \( x = 1 \):

\[ 1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0. \]

Уравнение выполняется, значит, \( x=1 \) — корень.

Когда \( x = -2 \):

\[ (-2)^3 + 6(-2)^2 + 5(-2) - 12 = -8 + 6 \times 4 - 10 - 12 = -8 + 24 - 10 - 12 = -6 \neq 0. \]

Не подходит.

Проверим остальные делители:

\( x = 2 \):

\[ 8 + 6 \times 4 + 10 - 12 = 8 + 24 + 10 - 12 = 30 \neq 0. \]

\( x = -3 \):

\[ -27 + 6 \times 9 - 15 - 12 = -27 + 54 - 15 - 12 = 0. \]

Значит, \( x = -3 \) — корень.

Проверим остальные:

\( x=4 \):

\[ 64 + 6 \times 16 + 20 - 12 = 64 + 96 + 20 - 12 = 168 \neq 0. \]

\( x=-1 \):

\[ -1 + 6 \times 1 - 5 - 12 = -1 + 6 - 5 - 12 = -12 \neq 0. \]

Таким образом, корни — это \( x=1 \) и \( x=-3 \).

Шаг 4: Разложите кубическое уравнение на множители, зная корни \( x=1 \) и \( x=-3 \).

Используйте деление многочлена на \((x-1)\):

\((x^3 + 6x^2 + 5x - 12) \div (x-1)\).

Деление:

• Первый коэффициент: делим \(x^3\) на \(x\): получаем \(x^2\).
• Умножаем: \(x^2(x-1) = x^3 - x^2\).
• Вычитаем: \((x^3 + 6x^2 + 5x - 12) - (x^3 - x^2) = 7x^2 + 5x - 12\).

Далее делим \(7x^2\) на \(x\): получаем \(7x\).

• Умножаем: \(7x(x-1) = 7x^2 - 7x\).
• Вычитаем: \((7x^2 + 5x - 12) - (7x^2 - 7x) = 12x - 12\).

Делим \(12x\) на \(x\): получаем 12.

• Умножаем: \(12(x - 1) = 12x - 12\).

Вычитаем: \((12x - 12) - (12x - 12) = 0\).

Значит, деление точно произошло, и:

\[ x^3 + 6x^2 + 5x - 12 = (x - 1)(x^2 + 7x + 12). \]

Разложим квадратный трёхчлен:

\[ x^2 + 7x + 12 = 0. \]

Решим его через дискриминант:

\[ D = 7^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1. \]

Корни:

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-7 \pm 1}{2}. \]

• \( x = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
• \( x = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Общая запись корней уравнения: \( x=1 \), \( x=-3 \), \( x=-4 \).

Однако отметим, что \( x = -3 \) уже был получен ранее, и это не противоречит.

Ответ:
\[ \boxed{ x = 1, \quad x=-3, \quad x=-4. } \]

Если нужны более подробные объяснения — обращайтесь!