реши все задачи на фото
Давайте подробно решим каждую задачу поэтапно:
Задача 1: Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции \( f(x) = 3x^2 + 7x - 3 \), в точке \( x_0 = -2 \).
Решение:
Для нахождения тангенса угла наклона касательной нужно найти производную функции \(f(x)\) и подставить точку \(x_0=-2\).
Производная \(f(x)\):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 7x - 3) = 6x + 7 \]Подставляем \(x_0 = -2\):
\[ f'(-2) = 6(-2) + 7 = -12 + 7 = -5 \]Значит, тангенс угла наклона касательной в этой точке равен \(\boxed{-5}\).
Задача 2: Составить уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x - 3x^2\) в точке с абсциссой \(x_0=2\).
Решение:
Находим значение функции в точке \(x_0=2\): \[ f(2) = 2 - 3 \cdot 2^2 = 2 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10 \]
Находим производную: \[ f'(x) = 1 - 6x \]
В точке \(x_0=2\): \[ f'(2) = 1 - 6 \cdot 2 = 1 - 12 = -11 \]
Уравнение касательной через точку \((x_0, f(x_0)) = (2, -10)\): \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y + 10 = -11(x - 2) \] \[ y + 10 = -11x + 22 \] \[ y = -11x + 22 - 10 = -11x + 12 \]
Ответ:
\[
\boxed{ y = -11x + 12 }
\]
Задача 3: Тело движется по закону \(x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 5\). Найти скорость и ускорение тела через 3 секунды после начала движения.
Решение:
Первая производная \(x(t)\) даст скорость \(v(t)\): \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2t^2 + 5) = 6t^2 + 4t \]
Время \( t=3 \): \[ v(3) = 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = 6 \cdot 9 + 12 = 54 + 12 = 66 \]
Вторая производная \(x(t)\) — ускорение \(a(t)\): \[ a(t) = x''(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 + 4t) = 12t + 4 \]
Время \( t=3 \): \[ a(3) = 12 \cdot 3 + 4 = 36 + 4 = 40 \]
Ответ:
- Скорость через 3 секунды: 66
- Ускорение через 3 секунды: 40
Задача 4: Найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции \(f(x) = x^3 + 3x^2\).
Решение:
Находим первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \]
Обнулим \(f'(x)\): \[ 3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-2 \]
Анализ знаков:
- Для \(x < -2\): возьмем \(x=-3\): \[ f'(-3) = 3 \cdot (-3) \cdot (-3+2) = 3 \cdot (-3) \cdot (-1) = 9 > 0 \] — функция возрастает.
- Для \(-2 < x < 0\): возьмем \(x=-1\): \[ f'(-1) = 3 \cdot (-1) \cdot (-1+2) = 3 \cdot (-1) \cdot 1 = -3 < 0 \] — функция убывает.
- Для \(x > 0\): возьмем \(x=1\): \[ f'(1) = 3 \cdot 1 \cdot (1+2) = 3 \cdot 1 \cdot 3 = 9 > 0 \] — функция возрастает.
Экстремумы:
- В точках, где производная меняет знак: в \(x=-2\) — минимум, в \(x=0\) — максимум.
Ответ:
- Возрастает на \((-\infty, -2)\) и \((0, +\infty)\),
- Убывает на \((-2, 0)\),
- Экстремумы в точках: минимум в \(x=-2\), максимум в \(x=0\).
Задача 5: Для функции \(f(x) = 4 + 2x - 6x^2\), найти первообразную, график которой проходит через точку \(\left(-2, 0\right)\).
Решение:
Находим очень простую первообразную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 + 2x - 6x^2) = 2 - 12x \]
Тогда первообразная \(F(x)\): \[ F(x) = \int (2 - 12x) dx = 2x - 6x^2 + C \]
Используем условие, что \(F(-2) = 0\): \[ 0 = 2 \cdot (-2) - 6 \cdot (-2)^2 + C \] \[ 0 = -4 - 6 \cdot 4 + C = -4 - 24 + C \Rightarrow C = 28 \]
Ответ: \[ F(x) = 2x - 6x^2 + 28 \]
Задача 6: Найти площадь фигуры ограниченной линиями \(y = x^2 + 2\) и \(y=4 + x\).
Решение:
Находим точки пересечения линий: \[ x^2 + 2 = 4 + x \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решение квадратичного уравнения: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Значит, границы по x: от \(-1\) до \(2\).
Площадь: \[ S = \int_{-1}^{2} [(4 + x) - (x^2 + 2)] dx \] \[ = \int_{-1}^{2} (4 + x - x^2 - 2) dx = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) dx \]
Вычисление: \[ \int (2 + x - x^2) dx = 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \]
Подставляем границы: \[ \left[ 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]
В точке \(x=2\): [ 2 \cdot 2 + \
