реши все задачи на этом фото

Конечно! Ниже приведены решения всех задач на изображении с подробными объяснениями.

Задача 1

Вычислить интеграл:
\[ \int \frac{1}{\cos 2x} \, dx \]

Решение:

1. Запишем \(\frac{1}{\cos 2x}\) как \(\sec 2x\): \[ \int \sec 2x \, dx \]

2. Используем известный интеграл для функции \(\sec u\): \[ \int \sec u \, du = \ln |\sec u + \tan u| + C \]

3. В этом случае, \(u = 2x\), значит, \(du = 2 dx\); тогда \(dx = \frac{du}{2}\): \[ \int \sec 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \sec u \, du \]

4. Подставляем известный интеграл: \[ = \frac{1}{2} \ln |\sec u + \tan u| + C \] или обратно: \[ = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C \]

Ответ: \[ \boxed{ \int \frac{1}{\cos 2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C } \]

Задача 2

Вычислить интеграл:
\[ \int \frac{j}{\sqrt{1 - j^2}} \, dj \]

Решение:

1. Пусть \(j = \sin t\), тогда \(dj = \cos t \, dt\).

2. Наружу: \[ j = \sin t \Rightarrow \sqrt{1 - j^2} = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \] (здесь предполагается \(\cos t \ge 0\), что подходит, если интервал выбора \(t\)).

3. Подставляем: \[ \int \frac{\sin t}{\cos t} \times \cos t \, dt = \int \sin t \, dt \]

4. Простое интегрирование: \[ - \cos t + C \]

5. Возвращаемся к \(j\): \[ j = \sin t \Rightarrow t = \arcsin j \] тогда \[ - \cos t + C = - \sqrt{1 - \sin^2 t} + C = - \sqrt{1 - j^2} + C \]

Ответ: \[ \boxed{ \int \frac{j}{\sqrt{1 - j^2}} \, dj = - \sqrt{1 - j^2} + C } \]

Задача 3

Вычислить интеграл:
\[ \int \frac{1}{x^2} \, dx \]

Решение:

Этот интеграл запоминается как интеграл степенной функции:

\[ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]

В данном случае \(n = -2\):

\[ \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = - \frac{1}{x} + C \]

Ответ: \[ \boxed{ \int \frac{1}{x^2} \, dx = - \frac{1}{x} + C } \]

Задача 4

Вычислить интеграл:
\[ \int \frac{y - 3}{y^2 - 9} \, dy \]

Решение:

1. Примерно факторизуем знаменатель: \[ y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3) \]

2. Выполняем разложение на простые дроби: \[ \frac{y - 3}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{A}{y - 3} + \frac{B}{y + 3} \]

3. Умножим обе части на знаменатель: \[ y - 3 = A(y + 3) + B(y - 3) \]

4. Раскрываем скобки: \[ y - 3 = A y + 3A + B y - 3B \] \[ y - 3 = (A + B) y + 3A - 3B \]

5. Сравниваем коэффициенты при \(y\) и константы: \[ A + B = 1 \] \[ 3A - 3B = -3 \] или \[ A - B = -1 \]

6. Получаем систему: \[ A + B = 1 \] \[ A - B = -1 \] Решаем систему: \[ 2A = 0 \Rightarrow A=0 \] Подставляем в первое уравнение: \[ 0 + B = 1 \Rightarrow B=1 \]

7. Итог: \[ \frac{y - 3}{y^2 - 9} = \frac{0}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} = \frac{1}{y + 3} \]

8. Тогда интеграл: \[ \int \frac{1}{y + 3} \, dy = \ln | y + 3 | + C \]

Ответ: \[ \boxed{ \int \frac{y - 3}{y^2 - 9} \, dy = \ln | y + 3 | + C } \]

Если есть еще вопросы или нужно разъяснение — сообщите!