Давайте разберемся с задачей и решим ее поэтапно.
Условие задачи:
Цветник ограничен линиями:
- f(x) = x^2 - 2x,
- y = 0 (ось x).
Необходимо найти площадь этого участка с помощью определенного интеграла.
Шаг 1: Построение чертежа (смысленно)
- График функции f(x) = x^2 - 2x — это парабола, открытая вверх.
- Ось x — горизонтальная линия (ось координат).
- Участок ограничен графиком параболы сверху и осью x снизу.
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Чтобы найти границы интегрирования, нужно найти точки пересечения параболы с осью x, то есть решить уравнение:
[
x^2 - 2x = 0
]
факторизуем:
[
x(x - 2) = 0
]
Отсюда получаем корни:
[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2
]
Это значит, что цветник ограничен с (x=0) до (x=2).
Шаг 3: Запись площади как определенного интеграла
Площадь участка между графиком функции и осью x задается интегралом:
[
S = \int_{0}^{2} f(x) , dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) , dx
]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Рассчитаем по частям:
[
S = \int_{0}^{2} x^2 , dx - 2 \int_{0}^{2} x , dx
]
Вычислим каждое интеграл отдельно:
- (\int x^2 dx = \frac{x^3}{3})
- (\int x dx = \frac{x^2}{2})
Теперь подставим пределы:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 - 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
]
Посчитаем:
[
S = \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right) - 2 \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right)
]
[
S = \frac{8}{3} - 2 \times \frac{4}{2}
]
[
S = \frac{8}{3} - 2 \times 2
]
[
S = \frac{8}{3} - 4
]
Переведем 4 в третьи:
[
4 = \frac{12}{3}
]
Тогда:
[
S = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}
]
Отрицательное значение говорит о том, что функция находится ниже уровня x-оси, а мы считаем площадь сверху.
Площадь — это абсолютное значение:
[
\boxed{
S = \frac{4}{3}
}
]
Ответ:
Площадь цветника составляет (\frac{4}{3}) квадратных единиц.
Краткий вывод:
Площадь участка определяется интегралом функции (f(x) = x^2 - 2x) на интервале ([0,2]), что равно (\frac{4}{3}).
Если нужно, я могу помочь с графиком, либо объяснить более подробно любой шаг!
