Реши задачу и нарисуй чертёж: Цветник имеет контур, заданный линиями f (x) = x* -2х, y = 0. Найти площадь данного участка земли, используя определенный интеграл.
Давайте разберемся с задачей и решим ее поэтапно.
Условие задачи:
Цветник ограничен линиями:
- f(x) = x^2 - 2x,
- y = 0 (ось x).
Необходимо найти площадь этого участка с помощью определенного интеграла.
Шаг 1: Построение чертежа (смысленно)
- График функции f(x) = x^2 - 2x — это парабола, открытая вверх.
- Ось x — горизонтальная линия (ось координат).
- Участок ограничен графиком параболы сверху и осью x снизу.
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Чтобы найти границы интегрирования, нужно найти точки пересечения параболы с осью x, то есть решить уравнение:
\[ x^2 - 2x = 0 \]
факторизуем:
\[ x(x - 2) = 0 \]
Отсюда получаем корни:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Это значит, что цветник ограничен с \(x=0\) до \(x=2\).
Шаг 3: Запись площади как определенного интеграла
Площадь участка между графиком функции и осью x задается интегралом:
\[ S = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Рассчитаем по частям:
\[ S = \int_{0}^{2} x^2 \, dx - 2 \int_{0}^{2} x \, dx \]
Вычислим каждое интеграл отдельно:
- \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\)
- \(\int x dx = \frac{x^2}{2}\)
Теперь подставим пределы:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 - 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]
Посчитаем:
\[ S = \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right) - 2 \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right) \]
\[ S = \frac{8}{3} - 2 \times \frac{4}{2} \]
\[ S = \frac{8}{3} - 2 \times 2 \]
\[ S = \frac{8}{3} - 4 \]
Переведем 4 в третьи:
\[ 4 = \frac{12}{3} \]
Тогда:
\[ S = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3} \]
Отрицательное значение говорит о том, что функция находится ниже уровня x-оси, а мы считаем площадь сверху.
Площадь — это абсолютное значение:
\[ \boxed{ S = \frac{4}{3} } \]
Ответ:
Площадь цветника составляет \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.
Краткий вывод:
Площадь участка определяется интегралом функции \(f(x) = x^2 - 2x\) на интервале \([0,2]\), что равно \(\frac{4}{3}\).
Если нужно, я могу помочь с графиком, либо объяснить более подробно любой шаг!
