даны функция спроса на продукцию монополиста Q = 18 - Р и функция общих затрат TC = 20 + 2Q +Q2. Сколько теряет монополист, если правительственные органы ограничат цену на его…
Даны функция спроса на продукцию монополиста Q = 18 - Р и функция общих затрат TC = 20 + 2Q +Q2. Сколько теряет монополист, если правительственные органы ограничат цену на его продукцию уровнем 12 денежных единиц • а. 14. д.е. 0 b. 7 д.е О С. 11 д.е. 0 d. 8 д.е О е. 2 д.е O f. 9 д.е. 3 д.е • h. 10 д.е. • i. 4 д.е 6 д.е 0 к. 12 д.е. • 1. 13. д.е. 0 т. 1 д.е • п. 5 д.е
Давайте подробно разберем задачу по шагам.
Дано:
- Функция спроса: \(Q = 18 - P\)
- Общие издержки: \(TC = 20 + 2Q + Q^2\)
Нам нужно определить, сколько теряет монополист при установлении ценового потолка на уровне 12 денежных единиц.
Шаг 1. Нахождение без ограничения цены — монопольное равновесие
1.1. Определение функции прибыли:
Прибыль монополиста:
\[
\pi(Q) = P \cdot Q - TC
\]
Но необходимо выразить прибыль через \(Q\):
Так как \(Q = 18 - P\), то
\[
P = 18 - Q
\]
Подставляем:
\[
\pi(Q) = (18 - Q) \cdot Q - (20 + 2Q + Q^2)
\]
1.2. Раскроем скобки:
\[ \pi(Q) = 18Q - Q^2 - 20 - 2Q - Q^2 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[
\pi(Q) = 18Q - 2Q - Q^2 - Q^2 - 20
\]
\[
\pi(Q) = (16Q) - 2Q^2 - 20
\]
Шаг 2. Поиск оптимального объема выпуска \(Q^*\)
Для этого возьмем производную прибыли по \(Q\) и приравняем ее к нулю:
\[ \frac{d\pi}{dQ} = 16 - 4Q = 0 \]
Отсюда:
\[
4Q = 16 \Rightarrow Q^* = 4
\]
Подставим \(Q^*\) в функцию цены:
\[
P^* = 18 - Q^* = 18 - 4 = 14
\]
Итог по без ограничения:
- Объем: \(Q^* = 4\)
- Цена: \(P^* = 14\)
Шаг 3. Определение прибыли и издержек при равновесии
Общие издержки при \(Q=4\):
\[ TC = 20 + 2 \cdot 4 + 4^2 = 20 + 8 + 16 = 44 \]
Выручка:
\[ TR = P \cdot Q = 14 \times 4 = 56 \]
Прибыль:
\[ \pi = TR - TC = 56 - 44 = 12 \]
Шаг 4. Новая ситуация — ценовой потолок в 12
Теперь цена ограничена сверху на уровне 12.
Нам нужно понять, что произойдет: несет ли монополист убытки, и как изменится его объем выпуска.
4.1. Найдем новый объем выпуска:
При цене \(P_{max} = 12\):
\[ Q_{new} = 18 - P_{max} = 18 - 12 = 6 \]
4.2. Проверим прибыль при новом объеме:
Общие издержки при \(Q=6\):
\[ TC = 20 + 2 \times 6 + 6^2 = 20 + 12 + 36 = 68 \]
Выручка:
\[ TR = 12 \times 6 = 72 \]
Прибыль:
\[ \pi_{new} = 72 - 68 = 4 \]
Поскольку прибыль положительна, монополист продолжит работать, но с обновленным объемом и доходом.
Шаг 5. Определение потерь (издержек упущенной выгоды)
Потеря монополиста — это разница между прибылью, которую он имел бы без ограничения цены, и прибылью при ограничении.
- Без ограничения цены: прибыль = 12
- После ограничения: прибыль = 4
Следовательно, потеря:
\[ \Delta \Pi = 12 - 4 = 8 \]
Ответ:
Монополист теряет 8 денежных единиц при ограничении цены уровнем 12.
Правильный вариант ответа:
d. 8 д.е
