Решить все задания

Конечно! Вот подробные решения всех заданий из листа: --- **Задача 1:** Найти предел функции: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2 - 2x + 3}{x^2 - 6} \] **Решение:** Когда \(x \to -\infty\),доминируют самые старшие степени в числителе и знаменателе: \(x^2\). Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{6}{x^2}} \] При \(x \to -\infty\) все дроби, содержащие \(1/x\) и \(1/x^2\), стремятся к 0: \[ \frac{5 + 0 + 0}{1 + 0} = 5 \] **Ответ:** \(\boxed{5}\) --- **Задача 2:** Найти производную функции: \[ y = \frac{2 \cos x}{\sin x} \] **Решение:** Запишем функцию как: \[ y = 2 \cot x \] Производная \(\cot x\) равна: \[ \frac{d}{dx} \cot x = - \csc^2 x \] Тогда: \[ y' = 2 \cdot (- \csc^2 x) = - 2 \csc^2 x \] **Ответ:** \(\boxed{- 2 \csc^2 x}\) --- **Задача 3:** Найти производную сложной функции: \[ y = 3 \sqrt{4x + 8} \] **Решение:** Обозначим: \[ y = 3 (4x + 8)^{1/2} \] Используем цепное правило: \[ y' = 3 \cdot \frac{1}{2} (4x + 8)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{3 \cdot 4}{2} (4x + 8)^{-1/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{4x + 8}} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{6}{\sqrt{4x + 8}}}\) --- **Задача 4:** Найти точки максимумов и минимумов функции: \[ y = 4x - \frac{x^3}{3} \] **Решение:** Найдем первую производную: \[ y' = 4 - x^2 \] Приравниваем к нулю: \[ 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] Находим вторую производную: \[ y'' = -2x \] - При \(x = 2\): \[ y'' = -4 < 0 \Rightarrow точка \(x=2\) — максимум \] - При \(x = -2\): \[ y'' = 4 > 0 \Rightarrow точка \(x=-2\) — минимум Находим значения функции в этих точках: - В точке \(x=2\): \[ y(2) = 4 \cdot 2 - \frac{(2)^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \] - В точке \(x=-2\): \[ y(-2) = 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} \] **Ответ:** - Максимум при \(x=2\), \(y= \frac{16}{3}\). - Минимум при \(x=-2\), \(y= -\frac{16}{3}\). --- **Задача 5:** Тело движется по закону скорости: \(\mathrm{S(t)}= 2 t^2 + 3 t + 5\) (м). Определить скорость через 4 с. **Решение:** Скорость — это первая производная по времени: \[ v(t) = \mathrm{S'}(t) = \frac{d}{dt}(2 t^2 + 3 t + 5) = 4 t + 3 \] Через 4 сек: \[ v(4) = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19\, м/с \] **Ответ:** \(\boxed{19\, м/с}\) --- **Задача 6:** Вычислить определенный интеграл: \[ \int_{1}^{2} \frac{2 \mathrm{x}}{x} \, dx \] **Решение:** Упростим подинтегральное выражение: \[ \frac{2x}{x} = 2 \] Интеграл: \[ \int_{1}^{2} 2 \, dx = 2 \int_{1}^{2} dx = 2 [x]_{1}^{2} = 2 (2 - 1) = 2 \] **Ответ:** \(\boxed{2}\) --- **Задача 7:** Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \(y = 2x^2\), \(y=0\), \(x=-2\), \(x=1\). **Решение:** Площадь: \[ S = \int_{-2}^{1} (2x^2 - 0) dx = \int_{-2}^{1} 2x^2 dx \] Вычислим: \[ 2 \int_{-2}^{1} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{1 + 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{9}{3} = 2 \cdot 3 = 6 \] **Ответ:** \(\boxed{6}\) --- **Задача 8:** Выбрать одну карточку из 12, номера с 1 по 12. Найти вероятность, что число больше 7. **Решение:** Числа больше 7: 8, 9, 10, 11, 12 — всего 5 чисел. Общее число карточек: 12. Вероятность: \[ \frac{5}{12} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{5}{12}}\) --- **Задача 9:** Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4 см и 6 см. Радиус основания конуса равен 5 см, высота 13 см. Найти объем конуса. **Решение:** Объем конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 13 \] Вычислим: \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 325 = \frac{325}{3} \pi \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{325}{3} \pi\, \mathrm{см^3}}\) --- **Задача 10:** Объем конуса, радиус основания — 5 см, высота — 13 см. Найти объем. (Повтор задачи 9 — одинаковое решение) --- **Задача 11:** Даны векторы: \[ \vec{a} = \vec{i} - 7 \vec{j} + 2 \vec{k} \\ \vec{b} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k} \] Найти скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (-7)(3) + (2)(-1) = 2 -