Решить все задания
Конечно! Вот подробные решения всех заданий из листа:
Задача 1:
Найти предел функции:
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2 - 2x + 3}{x^2 - 6}
\]
Решение:
Когда \(x \to -\infty\),доминируют самые старшие степени в числителе и знаменателе: \(x^2\).
Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\):
\[ \lim_{x \to -\infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{6}{x^2}} \]
При \(x \to -\infty\) все дроби, содержащие \(1/x\) и \(1/x^2\), стремятся к 0:
\[ \frac{5 + 0 + 0}{1 + 0} = 5 \]
Ответ: \(\boxed{5}\)
Задача 2:
Найти производную функции:
\[
y = \frac{2 \cos x}{\sin x}
\]
Решение:
Запишем функцию как:
\[
y = 2 \cot x
\]
Производная \(\cot x\) равна:
\[
\frac{d}{dx} \cot x = - \csc^2 x
\]
Тогда:
\[
y' = 2 \cdot (- \csc^2 x) = - 2 \csc^2 x
\]
Ответ: \(\boxed{- 2 \csc^2 x}\)
Задача 3:
Найти производную сложной функции:
\[
y = 3 \sqrt{4x + 8}
\]
Решение:
Обозначим:
\[
y = 3 (4x + 8)^{1/2}
\]
Используем цепное правило:
\[
y' = 3 \cdot \frac{1}{2} (4x + 8)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{3 \cdot 4}{2} (4x + 8)^{-1/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{4x + 8}}
\]
Ответ: \(\boxed{\frac{6}{\sqrt{4x + 8}}}\)
Задача 4:
Найти точки максимумов и минимумов функции:
\[
y = 4x - \frac{x^3}{3}
\]
Решение:
Найдем первую производную:
\[
y' = 4 - x^2
\]
Приравниваем к нулю:
\[
4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
\]
Находим вторую производную:
\[
y'' = -2x
\]
При \(x = 2\):
\[ y'' = -4 < 0 \Rightarrow точка \(x=2\) — максимум \]При \(x = -2\):
\[ y'' = 4 > 0 \Rightarrow точка \(x=-2\) — минимум Находим значения функции в этих точках: - В точке \(x=2\): \[ y(2) = 4 \cdot 2 - \frac{(2)^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \]В точке \(x=-2\):
\[ y(-2) = 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} \]
Ответ:
- Максимум при \(x=2\), \(y= \frac{16}{3}\).
- Минимум при \(x=-2\), \(y= -\frac{16}{3}\).
Задача 5:
Тело движется по закону скорости: \(\mathrm{S(t)}= 2 t^2 + 3 t + 5\) (м). Определить скорость через 4 с.
Решение:
Скорость — это первая производная по времени:
\[
v(t) = \mathrm{S'}(t) = \frac{d}{dt}(2 t^2 + 3 t + 5) = 4 t + 3
\]
Через 4 сек:
\[
v(4) = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19\, м/с
\]
Ответ: \(\boxed{19\, м/с}\)
Задача 6:
Вычислить определенный интеграл:
\[
\int_{1}^{2} \frac{2 \mathrm{x}}{x} \, dx
\]
Решение:
Упростим подинтегральное выражение:
\[
\frac{2x}{x} = 2
\]
Интеграл:
\[
\int_{1}^{2} 2 \, dx = 2 \int_{1}^{2} dx = 2 [x]_{1}^{2} = 2 (2 - 1) = 2
\]
Ответ: \(\boxed{2}\)
Задача 7:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \(y = 2x^2\), \(y=0\), \(x=-2\), \(x=1\).
Решение:
Площадь:
\[
S = \int_{-2}^{1} (2x^2 - 0) dx = \int_{-2}^{1} 2x^2 dx
\]
Вычислим:
\[
2 \int_{-2}^{1} x^2 dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{1 + 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{9}{3} = 2 \cdot 3 = 6
\]
Ответ: \(\boxed{6}\)
Задача 8:
Выбрать одну карточку из 12, номера с 1 по 12. Найти вероятность, что число больше 7.
Решение:
Числа больше 7: 8, 9, 10, 11, 12 — всего 5 чисел.
Общее число карточек: 12.
Вероятность:
\[
\frac{5}{12}
\]
Ответ: \(\boxed{\frac{5}{12}}\)
Задача 9:
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4 см и 6 см. Радиус основания конуса равен 5 см, высота 13 см. Найти объем конуса.
Решение:
Объем конуса:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 13
\]
Вычислим:
\[
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 325 = \frac{325}{3} \pi
\]
Ответ: \(\boxed{\frac{325}{3} \pi\, \mathrm{см^3}}\)
Задача 10:
Объем конуса, радиус основания — 5 см, высота — 13 см. Найти объем.
(Повтор задачи 9 — одинаковое решение)
Задача 11:
Даны векторы:
\[
\vec{a} = \vec{i} - 7 \vec{j} + 2 \vec{k} \\
\vec{b} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k}
\]
Найти скалярное произведение:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (-7)(3) + (2)(-1) = 2 -
