Реши логарифм

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Задача:
\[ \log_x (2x^2 - 4x + 3) = 2 \]

Шаг 1: Понимание уравнения
Это уравнение логарифма: логарифм по основанию \( x \) от выражения \( 2x^2 - 4x + 3 \) равен 2.

По определению логарифма: \[ \log_x A = B \iff A = x^B \]

Значит, мы можем переписать уравнение как: \[ 2x^2 - 4x + 3 = x^2 \]

Шаг 2: Преобразование
Обозначим: \[ 2x^2 - 4x + 3 = x^2 \]

Перенесем все в одну сторону: \[ 2x^2 - 4x + 3 - x^2 = 0 \]

Это упрощается: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Найдем дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Шаг 4: Проверка условий
Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: \[ x > 0, \quad x \neq 1 \]

Переменные корни:

• \( x = 1 \): основание равно 1 — логарифм не определен.
• \( x = 3 \): основание равно 3 — допустимо.

Также нужно проверить, что выражение внутри логарифма положительно при найденных корнях: \[ A = 2x^2 - 4x + 3 \]

• Для \( x=3 \): \[ A = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 + 3 = 18 - 12 + 3 = 9 \] Положительно, значит логарифм определен.

• Для \( x=1 \): \[ A = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1 \] Это положительно, внутри логарифма тоже, однако основание — 1, что недопустимо.

Итог:
Единственное допустимое решение — \( x=3 \).

Итвердое решение:

\[ \boxed{ x=3 } \] Это единственный допустимый корень исходного уравнения.